§ 21. Гравитационная сила. Закон всемирного тяготения

Определения и обозначения

Гравитационная сила — сила взаимного притяжения любых тел, имеющих массу. Её обозначают F, направление совпадает с линией, соединяющей центры тел, а единица измерения в СИ — ньютон (Н). Это понятие описывает взаимодействие и больших небесных тел, и обычных предметов.

Закон всемирного тяготения устанавливает зависимость модуля силы притяжения двух тел от их масс и расстояния между центрами. Он записывается так: F = Gm₁m₂/r². Закон позволяет рассчитывать силу, не измеряя её непосредственно.

Гравитационная постоянная G — коэффициент в формуле закона всемирного тяготения: G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг². Её малое значение показывает, почему притяжение между небольшими телами почти незаметно. Благодаря единице измерения G формула даёт силу в ньютонах.

Гравитационное поле — область пространства, в которой на тело с массой действует гравитационная сила. Источником поля является тело или система тел, обладающих массой. Чем больше масса источника и чем ближе к нему находится тело, тем сильнее поле в обычных условиях.

Как это устроено

Любые тела с массой притягиваются, потому что масса является источником гравитационного взаимодействия. Это свойство не зависит от вещества, цвета или формы тела. Для двух тел сила направлена вдоль линии, соединяющей их центры: такое направление соответствует прямому взаимному сближению и не создаёт лишнего поворачивающего действия для сферически симметричных тел.

Из закона всемирного тяготения получают формулу F = Gm₁m₂/r²: G — постоянный коэффициент, m₁ и m₂ — массы тел, а r² — квадрат расстояния между их центрами. Произведение масс показывает, что увеличение любой массы в несколько раз во столько же раз увеличивает силу. Если увеличить обе массы, множители действуют одновременно.

Расстояние входит в знаменатель в квадрате, поэтому его влияние сильнее линейного. При увеличении r в 2 раза знаменатель возрастает в 4 раза, а сила уменьшается в 4 раза; при увеличении расстояния в 3 раза сила становится в 9 раз меньше. Такая зависимость связана с распространением поля во все стороны пространства.

Если на тело действуют несколько источников гравитации, каждая сила рассчитывается отдельно. Затем силы складывают как векторы: учитывают не только модули, но и направления. При противоположных направлениях силы могут частично или полностью компенсироваться, а при совпадающих — усиливают друг друга.

Сила тяжести у поверхности Земли является частным случаем закона всемирного тяготения. Для тела массой m и Земли массой M на расстоянии, примерно равном радиусу Земли R, имеем F = GMm/R². Так как g = GM/R², получаем привычную запись F = mg; она удобна, когда ускорение свободного падения около поверхности считают постоянным.

Гравитационная сила и её характеристики

В таблице собраны обозначения, формулы и зависимости, необходимые для решения задач. В строке о расстоянии нужно помнить: r измеряют от центра одного тела до центра другого, а не между их поверхностями. Для нескольких источников сначала находят отдельные силы, затем определяют их векторную сумму.

Разбор задач

Задача 1

Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 0,5 м. Нужно найти силу их гравитационного притяжения. Используем закон всемирного тяготения, поскольку известны обе массы и расстояние между центрами тел.

1. Записываем формулу: F = Gm₁m₂/r².
2. Подставляем значения: F = 6,67·10⁻¹¹·2·3/(0,5)².
3. Вычисляем: F = 6,67·10⁻¹¹·6/0,25 ≈ 1,6·10⁻⁹ Н.

Ответ: сила притяжения равна примерно 1,6·10⁻⁹ Н. Она действует на каждое тело в сторону другого тела.

Задача 2

Массу одного тела увеличили в 4 раза, а расстояние между телами — в 2 раза. Требуется определить изменение силы без подстановки чисел. В формуле масса находится в первой степени, а расстояние — в квадрате.

1. Увеличение массы в 4 раза даёт множитель 4 для силы.
2. Увеличение расстояния в 2 раза увеличивает r² в 4 раза, поэтому сила получает множитель 1/4.
3. Общий множитель равен 4·1/4 = 1.

Ответ: сила не изменится. Увеличение массы полностью компенсирует ослабление притяжения из-за увеличения расстояния.

Задача 3

Спутник массой m находится на высоте h над поверхностью Земли. Нельзя подставлять в закон одну только высоту, потому что гравитационное взаимодействие определяется расстоянием до центра Земли.

1. Расстояние от центра Земли до спутника равно r = R + h.
2. Подставляем это расстояние в закон: F = GMm/(R + h)².
3. Если нужны числа, массы и длины переводим в килограммы и метры, затем выполняем вычисление.

Ответ: сила притяжения спутника к Земле равна F = GMm/(R + h)² и направлена к центру Земли.

Типичные ошибки

Высоту над поверхностью Земли подставляют вместо расстояния до её центра. Ошибка возникает из-за смешения геометрической высоты и радиус-вектора. Проверьте себя: для спутника должно получаться r = R + h.

Зависимость от расстояния записывают как 1/r, забывая квадрат. Так происходит, когда запоминают только направление зависимости «чем дальше, тем слабее». Проверьте формулу и мысленно: при увеличении r в 2 раза сила должна уменьшиться в 4 раза.

Гравитационную силу считают отталкивающей или направляют перпендикулярно линии центров. Причина — смешение гравитации с другими видами взаимодействия или с направлением движения тела. Проверьте рисунок: силы двух тел направлены навстречу друг другу вдоль линии центров.

Массу путают с силой тяжести. Масса характеризует само тело, а сила тяжести зависит ещё и от гравитационного поля, поэтому используется F = mg. Проверьте единицы: масса измеряется в килограммах, сила — в ньютонах.

Связь с другими темами

Для применения закона нужны понятия массы, силы, вектора силы, равнодействующей и единиц СИ. Без них трудно правильно выбрать направление силы и сложить несколько воздействий.

Закон всемирного тяготения связан со вторым законом Ньютона. Из равенства F = GMm/R² и F = ma получают ускорение свободного падения g = GM/R².

Далее закон используют при изучении движения планет и спутников, орбит и первой космической скорости. Он также помогает объяснить состояние искусственной невесомости на орбите.

Что запомнить

• Гравитационная сила действует между любыми телами, имеющими массу.
• Сила направлена вдоль линии, соединяющей центры тел, и является силой притяжения.
• Модуль силы определяется формулой F = Gm₁m₂/r².
• Сила прямо пропорциональна каждой из масс.
• Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.
• Гравитационные силы подчиняются принципу суперпозиции.
• У поверхности Земли сила тяжести описывается формулой F = mg.