§ 22. Сила тяжести

Определения и обозначения

Сила тяжести — сила притяжения тела к Земле. Её обозначают Fтяж и измеряют в ньютонах (Н). Она показывает, как гравитационное взаимодействие Земли влияет на тело.

Ускорение свободного падения — ускорение тела, движущегося под действием силы тяжести. Его обозначают g; у поверхности Земли g примерно равно 9,8 м/с². Эта величина нужна для расчёта силы тяжести и скорости свободно падающих тел.

Гравитационное поле — область пространства, создаваемая Землёй и другими массивными телами, где на тела действует сила притяжения. Поле не видно непосредственно, но его действие обнаруживается по ускорению тел. Понятие поля помогает описывать притяжение на расстоянии.

Вес тела — сила, с которой тело действует на опору или подвес. В покое его значение часто совпадает с модулем силы тяжести, поэтому эти понятия легко перепутать. При ускоренном движении или свободном падении вес изменяется, а сила тяжести может оставаться действующей.

Как это устроено

Сила тяжести имеет гравитационную природу: Земля притягивает каждое тело, потому что обладает огромной массой. Взаимодействие не требует соприкосновения, поэтому сила действует и на падающий камень, и на спутник. Чем больше масса тела, тем сильнее его притягивает Земля.

Для тела у поверхности Земли второй закон Ньютона записывается как F = ma. Если на свободно падающее тело действует главным образом сила тяжести, то Fтяж = ma, а ускорение a равно g. Поэтому получают формулу Fтяж = mg: сила прямо пропорциональна массе тела и ускорению свободного падения.

Направление силы тяжести совпадает с направлением к центру Земли, потому что именно туда направлено результирующее притяжение всех частей планеты. На небольшом участке поверхности это направление называют вертикалью и изображают стрелкой вниз. Вектор силы проводят из тела, а наконечник стрелки направляют к центру Земли.

Значение g не является совершенно одинаковым везде. Оно немного меняется с высотой, географической широтой и распределением масс внутри Земли: при увеличении расстояния до центра планеты g уменьшается. В школьных задачах, если высота мала по сравнению с радиусом Земли и особые условия не указаны, g считают постоянным.

Сила тяжести действует на тело, а вес описывает действие тела на опору или подвес. Если тело покоится на горизонтальной опоре, опора действует на него вверх, и по третьему закону Ньютона тело давит на опору вниз с силой, равной по модулю mg. При ускорении опоры вверх вес становится P = m(g + a), при ускорении вниз — P = m(g − a); при свободном падении опора не действует, поэтому вес равен нулю.

Сила тяжести в разных условиях

В таблице сначала определите расстояние от тела до центра притягивающего тела, а затем выберите подходящую формулу. При малой высоте используют приближение Fтяж = mg, а при заметном удалении — закон всемирного тяготения. Строка о невесомости напоминает, что отсутствие веса не означает исчезновения силы тяжести.

Разбор задач

1. Сила тяжести у поверхности Земли

Условие: тело имеет массу 5 кг и находится у поверхности Земли. Нужно найти силу тяжести, если g = 9,8 Н/кг. Направление силы также следует указать.

1. Используем формулу для тела у поверхности Земли: Fтяж = mg. Она подходит, потому что значение g уже дано и считается постоянным.
2. Подставляем данные: Fтяж = 5 кг · 9,8 Н/кг = 49 Н. Килограммы сокращаются, поэтому результат получается в ньютонах.
3. Вектор силы направлен вертикально вниз, то есть к центру Земли. Направление не определяется знаком численного ответа, а задаётся физическими условиями.

Ответ: Fтяж = 49 Н, сила направлена к центру Земли. Чем больше масса тела при том же g, тем больше сила тяжести.

2. Спутник на высоте

Условие: спутник находится на высоте h над поверхностью Земли. Требуется сравнить силу тяжести на этой высоте с силой у поверхности. Обозначим радиус Земли через R, а массу спутника — через m.

1. У поверхности расстояние до центра Земли равно R, поэтому F₀ = GMm/R². На высоте h это расстояние становится R + h.
2. Для спутника записываем Fh = GMm/(R + h)². Делим новое значение на прежнее: Fh/F₀ = R²/(R + h)² = (R/(R + h))².
3. Так как R + h больше R, отношение меньше единицы. Следовательно, сила тяжести на высоте меньше, чем у поверхности, хотя она по-прежнему направлена к центру Земли.

Ответ: Fh = F₀(R/(R + h))², поэтому сила уменьшается с высотой. Для точного сравнения нужно знать высоту относительно радиуса Земли.

3. Лифт и вес человека

Условие: человек массой m стоит на полу лифта. Нужно определить силу тяжести и вес при ускорении лифта вверх или вниз. Силу тяжести считаем равной mg, а вес обозначим P.

1. Сила тяжести не зависит от ускорения лифта: Fтяж = mg и направлена вниз. Ускорение меняет силу давления человека на пол, то есть его вес.
2. При ускорении вверх пол должен сообщать человеку дополнительное ускорение вверх, поэтому P = m(g + a). Человек сильнее давит на пол и ощущает перегрузку.
3. При ускорении вниз P = m(g − a), если a меньше g. При свободном падении a = g, контакт с полом исчезает и P = 0; это состояние невесомости.

Ответ: сила тяжести всегда равна mg, а вес равен m(g + a) при ускорении вверх и m(g − a) при ускорении вниз. Перегрузка возникает при движении вверх с ускорением, невесомость — при свободном падении.

Типичные ошибки

Ошибка: считать силу тяжести и вес одной и той же силой. Так делают потому, что в покое их численные значения равны. Проверьте, на что действует сила: Земля действует на тело — это сила тяжести, тело действует на опору — это вес.

Ошибка: направлять силу тяжести просто вверх или вниз независимо от положения тела. Причина в привычном представлении о вертикали, хотя тела могут находиться на разных участках Земли. Проверьте направление стрелки: она должна быть обращена к центру Земли.

Ошибка: применять Fтяж = mg при заметном удалении от поверхности. Формула требует практически постоянного g, а на большой высоте это приближение становится неточным. Если дана высота, сравните её с радиусом Земли и при необходимости используйте Fтяж = GMm/(R + h)².

Ошибка: путать массу, силу тяжести и ускорение свободного падения. Масса измеряется в килограммах, сила — в ньютонах, ускорение — в м/с². Проверка единиц в формуле Fтяж = mg сразу показывает, правильно ли выбран результат.

Связь с другими темами

Для изучения силы тяжести нужны второй закон Ньютона, понятия массы, силы и ускорения, а также умение работать с векторами. Эти знания позволяют вывести формулу Fтяж = mg, а не просто запомнить её.

Тема связана с законом всемирного тяготения: из него следует зависимость силы от массы Земли и расстояния до её центра. Так объясняется изменение g с высотой и различие силы тяжести на разных небесных телах.

Знания применяются при изучении движения тел в поле тяжести, полёта снарядов и спутников. Они также нужны для понимания веса, перегрузок и невесомости.

Что запомнить

• Сила тяжести — сила притяжения тела к Земле.
• У поверхности Земли Fтяж = mg.
• Сила тяжести направлена к центру Земли.
• Ускорение свободного падения у поверхности Земли приблизительно равно 9,8 м/с².
• Сила тяжести зависит от массы тела и значения g.
• Вес тела — не то же самое, что сила тяжести.
• В состоянии невесомости сила тяжести может действовать, хотя вес тела равен нулю.