§ 14. Действие магнитного поля на движущиеся заряды

Определения и обозначения

Сила Лоренца — сила, с которой магнитное поле действует на движущийся электрический заряд. Её модуль: F = |q|vB sin α, где |q| — модуль заряда, v — скорость, B — магнитная индукция, α — угол между скоростью и полем. Формула позволяет определить силу при любом направлении движения.

Правило левой руки — способ найти направление силы Лоренца. Левую руку располагают так, чтобы линии магнитного поля входили в ладонь, четыре пальца показывали направление движения положительного заряда, а отогнутый большой палец — силу. Для отрицательного заряда направление, найденное этим способом, меняют на противоположное.

Радиус траектории заряженной частицы — радиус окружности, по которой частица движется при скорости, перпендикулярной однородному полю. Он вычисляется по формуле R = mv/(|q|B). Радиус растёт с массой и скоростью и уменьшается с увеличением заряда или магнитной индукции.

Период обращения заряженной частицы — время одного полного оборота по окружности. Для движения поперёк однородного поля T = 2πm/(|q|B). Период зависит от массы и модуля заряда частицы и от магнитной индукции, но не зависит от её скорости.

Как это устроено

Магнитное поле действует именно на движущийся заряд, потому что сила Лоренца связана с вектором скорости. При неподвижном заряде v = 0, поэтому F = 0. Величина силы также зависит от угла: поле сильнее отклоняет поперечное движение, чем движение под острым углом, поскольку действует множитель sin α.

Сила Лоренца перпендикулярна и скорости частицы, и магнитному полю. Направление находят правилом левой руки, сначала учитывая положительный заряд как условный ориентир. Если заряд отрицательный, направление действия меняется на обратное, потому что знак заряда влияет на вектор силы.

Перпендикулярная скорость сила не может увеличить или уменьшить скорость по модулю. Работа силы равна нулю: A = Fs cos 90° = 0. Поэтому кинетическая энергия и модуль скорости сохраняются, хотя направление вектора скорости может непрерывно изменяться.

Если скорость перпендикулярна однородному полю, сила всё время направлена к центру искривляемой траектории. Она играет роль центростремительной силы, поэтому |q|vB = mv²/R. Отсюда R = mv/(|q|B): более массивная или быстрая частица движется по окружности большего радиуса.

При наклонном движении скорость раскладывают на две составляющие: v∥ вдоль поля и v⊥ поперёк него. Сила не действует на v∥, поэтому эта составляющая сохраняется, а v⊥ вызывает вращение по окружности. Одновременное вращение и равномерное перемещение вдоль поля дают винтовую траекторию.

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Сначала определите угол между скоростью и магнитным полем, затем выберите соответствующую строку. Если угол не равен 90°, в расчёте используется только множитель sin α. В последней строке круговое движение поперёк поля сочетается с равномерным движением вдоль него.

Разбор задач

Направление силы Лоренца

Условие. Положительный заряд движется перпендикулярно магнитному полю. Направление скорости и вектора магнитной индукции заданы. Требуется определить направление силы.

1. Так как заряд положительный, направление движения можно сразу использовать в правиле левой руки.
2. Расположите левую ладонь так, чтобы линии магнитного поля входили в неё, а четыре пальца показывали скорость заряда.
3. Отогнутый большой палец укажет направление силы Лоренца.

Ответ. Сила направлена туда, куда показывает большой палец левой руки. Если заряд был бы отрицательным, направление пришлось бы заменить на противоположное.

Радиус окружности

Условие. Частица с массой m, зарядом q и скоростью v влетает перпендикулярно в однородное поле с индукцией B. Найти радиус траектории.

1. При перпендикулярном движении sin 90° = 1, поэтому сила Лоренца равна Fл = |q|vB.
2. Эта сила является центростремительной: Fцс = mv²/R.
3. Приравняйте силы: |q|vB = mv²/R. После сокращения на v получаем R = mv/(|q|B).

Ответ. Радиус траектории равен R = mv/(|q|B). Направление вращения зависит от знака заряда, а радиус — от его модуля.

Движение под углом к полю

Условие. Частица влетает в однородное магнитное поле под углом α. Нужно описать траекторию и определить период обращения.

1. Разложите скорость: v∥ = v cos α вдоль поля и v⊥ = v sin α поперёк него.
2. Поперечная составляющая создаёт окружность, а продольная переносит частицу вдоль силовых линий. Поэтому траектория является винтовой.
3. Для полного оборота поперечного движения используйте T = 2πm/(|q|B).

Ответ. Частица движется по винтовой линии, а период её обращения равен T = 2πm/(|q|B). Он не зависит от угла влёта и скорости.

Типичные ошибки

Заряд считают неподвижным. Магнитное поле не действует на покоящийся заряд, поскольку в формуле есть скорость. Проверьте условие: если v = 0, сила должна получиться равной нулю.

Забывают знак заряда. Правило левой руки непосредственно задаёт направление для положительного заряда. Для отрицательного нужно развернуть результат на 180°, поэтому в конце отдельно проверьте знак q.

Считают, что сила изменяет скорость по модулю. Перпендикулярность силы и скорости означает нулевую работу, а значит, энергия не меняется. Проверьте это через A = Fs cos 90° = 0.

Используют F = |q|vB при любом угле. Это формула только для перпендикулярного движения. В общем случае добавьте множитель sin α и убедитесь, что при α = 0 сила обращается в ноль.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия магнитной индукции и силы Ампера. Они помогают понимать, как магнитное поле характеризуется и как оно действует на ток.

Расчёт траектории опирается на второй закон Ньютона и формулу центростремительной силы. Связь |q|vB = mv²/R позволяет перейти от действия поля к радиусу окружности.

Отклонение заряженных частиц используется в ускорителях, масс-спектрометрах и других приборах. Поэтому сила Лоренца связывает школьную механику с практическими технологиями исследования частиц.

Что запомнить

• Магнитное поле действует на движущийся заряд.
• Модуль силы Лоренца равен |q|vB sin α.
• Направление силы находят правилом левой руки; для отрицательного заряда его меняют на противоположное.
• Сила Лоренца перпендикулярна скорости и не изменяет её модуль.
• При движении поперёк однородного поля частица движется по окружности.
• Составляющая скорости вдоль поля сохраняется, а поперечная приводит к винтовой траектории.