§ 1.16. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Расчётная схема — идеализированное представление физической ситуации с зарядами, расстояниями, направлениями полей и неизвестными величинами. На ней реальные подробности оставляют только те, которые влияют на ответ. Схема помогает увидеть, какие силы и поля нужно учесть.

Принцип суперпозиции — правило, по которому результирующее электрическое поле равно векторной сумме полей отдельных зарядов. Иначе говоря, вклад каждого заряда сначала находят отдельно, а затем складывают с учётом направлений. Это позволяет решать задачи с несколькими источниками поля.

Энергетический метод — способ решения, основанный на связи работы электрического поля с изменением потенциальной энергии или потенциала. Он позволяет не вычислять силу на каждом участке движения. Метод особенно полезен, когда известны начальное и конечное положения заряда.

Условие равновесия заряда — равенство нулю результирующей силы, действующей на заряд. Значит, силы могут быть ненулевыми, но должны взаимно компенсироваться. Это условие превращает рассуждение о равновесии в уравнение.

Как это устроено

Решение начинают с внимательного чтения условия и построения схемы, потому что одни и те же слова могут описывать разные взаимные расположения зарядов. На схеме отмечают известные расстояния, знаки зарядов, искомую величину и возможные направления сил или поля. Затем величины переводят в СИ: например, сантиметры — в метры, а микрокулоны — в кулоны. Так в формулах не смешиваются разные единицы и не возникают ошибки в степенях десяти.

Закон выбирают по физическому содержанию задачи, а не по тому, какие числа даны. Если требуется сила взаимодействия двух точечных зарядов, применяют закон Кулона; если нужно описать движение, к силам добавляют второй закон Ньютона. Для поля нескольких зарядов используют суперпозицию, потому что поле каждого источника можно рассчитать независимо. Если спрашивают о работе или скорости после перемещения, сравнивают энергетический метод с силовым: часто энергия позволяет обойтись без подробного расчёта движения.

Направления полей и сил определяют до вычислений: поле положительного заряда направлено от него, отрицательного — к нему, а сила зависит ещё и от знака пробного заряда. Векторное равенство нельзя бездумно заменить суммой модулей. Выбирают ось, проецируют на неё каждый вектор и ставят знак «плюс» или «минус» по направлению. Тогда вместо нескольких векторных уравнений получают понятные уравнения для проекций.

После выбора закона записывают связь между известными и неизвестными величинами. При равновесии сумма проекций сил равна нулю; для нескольких источников поле складывают по компонентам; в энергетической задаче приравнивают работу поля изменению энергии с соответствующим знаком. Сначала выражают искомую величину буквами, и лишь потом подставляют числа. Такой порядок облегчает проверку и показывает, от каких данных зависит ответ.

Полученный результат проверяют не только повторным вычислением. Размерность должна соответствовать искомой величине, знак и направление — согласовываться с выбранной осью, а порядок величины — исходными данными. Полезно проверить предельный случай: поле точечного заряда уменьшается при увеличении расстояния, а при компенсации равных противоположных векторов результирующее значение обращается в ноль. Эти проверки часто выявляют ошибку до окончательной записи ответа.

Основные приёмы решения задач по электростатике

Сначала найдите в таблице тип задачи по тому, что требуется определить, а затем выберите соответствующий закон. Схема подсказывает, какие данные и направления необходимо перенести в уравнения. Последняя колонка помогает проверить не только вычисления, но и физический смысл результата.

Разбор задач

Поле и сила точечного заряда

Условие. Заряд Q = 2 мкКл находится на расстоянии r = 0,30 м от точки. Найти напряжённость поля в этой точке и силу на пробный заряд q = 3 нКл.

1. Записываем данные в СИ: Q = 2·10⁻⁶ Кл, q = 3·10⁻⁹ Кл. Направление поля от положительного Q.
2. Находим E = k|Q|/r² = 9·10⁹·2·10⁻⁶/0,30² = 2·10⁵ Н/Кл.
3. Сила F = qE = 3·10⁻⁹·2·10⁵ = 6·10⁻⁴ Н. Поскольку q положителен, сила направлена так же, как поле.

Ответ: E = 2·10⁵ Н/Кл, F = 6·10⁻⁴ Н; оба вектора направлены от Q.

Равновесие в поле двух зарядов

Условие. Заряды +Q и −Q закреплены на расстоянии L друг от друга. Где поместить третий заряд, чтобы он находился в равновесии?

1. На линии между зарядами поля направлены одинаково: от +Q к −Q. Поэтому там они не компенсируются.
2. Вне отрезка поля направлены противоположно, но ближайший заряд имеет большее поле. Равенство модулей потребовало бы одинаковых расстояний, что в этой области невозможно.
3. Следовательно, ненулевого поля с нулевой результирующей силой нет. Равновесие возможно лишь в тривиальном случае, если третий заряд равен нулю.

Ответ: ненулевой третий заряд равновесия не имеет ни в одной конечной точке.

Скорость заряда и конденсаторы

Условие. Положительный заряд q отпускают из покоя в точке с потенциалом φ₁; найти скорость в точке с потенциалом φ₂ и привести пример расчёта эквивалентной ёмкости.

1. Работа поля A = q(φ₁ − φ₂) переходит в кинетическую энергию: ½mv² = A. Отсюда v = √(2q(φ₁ − φ₂)/m), если φ₁ больше φ₂.
2. Для двух конденсаторов C₁ = 2 мкФ и C₂ = 3 мкФ при параллельном соединении C = C₁ + C₂ = 5 мкФ.

Ответ: скорость задаётся указанной формулой; эквивалентная ёмкость параллельно соединённых конденсаторов равна 5 мкФ.

Типичные ошибки

Подмена расстояний — частая ошибка: в формулу поля входит расстояние от источника до точки поля, а в закон Кулона для силы — расстояние между взаимодействующими зарядами. Их путают, когда на схеме не подписывают, к каким объектам относится каждый отрезок. Перед подстановкой полезно назвать расстояние словами и отметить его на рисунке. Если в формуле участвует не тот отрезок, ответ обычно неверен даже при точных вычислениях.

Сложение модулей сил и напряжённостей без учёта направлений даёт неправильный результат, когда векторы противоположны или не лежат на одной прямой. Так поступают, воспринимая векторную величину как обычное число. Нарисуйте стрелки и выберите ось, затем складывайте проекции со знаками. Проверка: результирующий вектор должен быть направлен туда, куда указывает итоговая сумма.

В энергетической задаче нельзя автоматически приравнивать изменение кинетической энергии работе электрического поля, если действуют и другие силы. Кроме того, работа поля связана с изменением потенциальной энергии знаком минус: A = −ΔEп. Ошибку допускают, забывая про трение, внешнее воздействие или начальную скорость. Составьте полный баланс энергий и проверьте, согласуется ли знак работы с тем, ускоряется заряд или замедляется.

Потеря множителя, неверный перевод единиц или пропущенная степень десяти способны сделать ответ физически бессмысленным. Ошибку легче заметить, если сначала выполнить буквенные преобразования, отдельно перевести все данные в СИ и прикинуть порядок результата. После вычисления проверьте размерность: например, для силы должны получиться ньютоны, а для напряжённости — Н/Кл. Также сравните число с исходными величинами и ожидаемым направлением.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны закон Кулона, понятия напряжённости и потенциала электрического поля, принцип суперпозиции, работа и энергия. Также необходимо уметь складывать векторы и находить их проекции на ось. Эти знания связывают описание поля с действием поля на заряды и помогают переходить от схемы к уравнениям.

Те же приёмы пригодятся при изучении движения заряженных частиц: поле сообщает частице ускорение или меняет её энергию. Законы для конденсаторов используются в расчётах электрических цепей, а понятия поля и энергии развиваются при изучении электромагнитных явлений. Поэтому умение разбирать условие и проверять ответ важно далеко за пределами задач этого параграфа.

Что запомнить

• Сначала строят расчётную схему и выделяют искомую величину.
• Физический закон выбирают по характеру взаимодействия, а не по внешнему виду условия.
• Поля и силы складывают как векторы.
• Для равновесия результирующая сила должна быть равна нулю.
• В задачах о перемещении заряда часто удобнее применять закон сохранения энергии.
• Числа подставляют после получения буквенного выражения.
• Ответ проверяют по единицам, знаку, направлению и порядку величины.