§ 5.4. Вихревое электрическое поле

Определения и обозначения

Вихревое электрическое поле — электрическое поле, возникающее при изменении магнитного поля и имеющее замкнутые силовые линии. Оно не связано напрямую с неподвижными зарядами и может существовать в пустом пространстве. Это определение помогает отличить его от обычного электростатического поля.

Индукционное электрическое поле — вихревое поле, создаваемое изменяющимся магнитным потоком. Магнитный поток Φ показывает, сколько магнитного поля проходит через выбранную поверхность. Термины «вихревое» и «индукционное» в этой теме обозначают одно и то же поле.

Циркуляция напряжённости электрического поля — работа поля по перемещению единичного положительного заряда по замкнутому контуру. Обозначают её как ∮E·dl, где E — напряжённость поля. Эта величина позволяет выяснить, является ли поле потенциальным.

Электродвижущая сила индукции — величина, равная циркуляции индукционного электрического поля по замкнутому контуру. Она обозначается ε и определяется законом электромагнитной индукции: ε = −dΦ/dt. ЭДС показывает, насколько сильно изменяющееся магнитное поле способно вызвать ток в замкнутом проводнике.

Как это устроено

Изменение магнитного поля вызывает электрическое поле даже там, где нет проводника и свободных зарядов. Причина в том, что меняющееся магнитное поле связано с электрическим не через перенос зарядов, а через изменение самого электромагнитного состояния пространства. Если поместить в эту область проводник, свободные электроны начнут двигаться под действием возникшего поля.

Силовые линии вихревого поля замкнуты, потому что его источник — не отдельные положительные или отрицательные заряды. У электростатического поля линии начинаются и заканчиваются на зарядах, а у индукционного поля направление напряжённости постепенно меняется вокруг области изменяющегося магнитного поля. Поэтому линия, следуя по направлению поля, возвращается к исходной точке.

Циркуляция вихревого поля по замкнутому контуру может быть ненулевой. Это означает, что при обходе контура поле совершает суммарную работу над единичным положительным зарядом. По закону электромагнитной индукции её значение связано со скоростью изменения магнитного потока: ∮E·dl = ε = −dΦ/dt.

Минус в формуле выражает правило Ленца, а не просто задаёт знак результата. Если магнитный поток увеличивается, возникающее поле создаёт магнитное действие, направленное против увеличения; если поток уменьшается, поле стремится поддержать его. Поэтому сначала определяют характер изменения потока, а затем выбирают направление индукционного поля.

Вихревое поле называют непотенциальным, поскольку его работа по замкнутому пути может отличаться от нуля. Для электростатического поля достаточно знать разность потенциалов между двумя точками, но для вихревого поля этого недостаточно: результат зависит от изменения магнитного потока и выбранного контура. Именно поэтому индукционные явления нельзя полностью описать только напряжением между концами проводника.

Сравнение электростатического и вихревого электрического полей

Таблица помогает сопоставить поля по причине возникновения, форме силовых линий и работе. Особенно полезно сравнить циркуляцию: по ней сразу видно, является ли поле потенциальным. При решении задач сначала выясняйте, какое поле действует и изменяется ли магнитный поток.

Разбор задач

1. Направление силовых линий

Магнитное поле соленоида направлено в плоскость рисунка и усиливается. Требуется определить направление линий возникающего поля. Здесь важно учитывать именно увеличение магнитного потока.

1. Поле направлено от наблюдателя в плоскость и становится сильнее.
2. По правилу Ленца индукционное магнитное поле должно быть направлено из плоскости к наблюдателю, чтобы препятствовать усилению исходного потока.
3. По правилу правой руки этому соответствует движение по окружности против часовой стрелки, если смотреть на рисунок со стороны наблюдателя.

Ответ: линии вихревого электрического поля направлены по концентрическим окружностям против часовой стрелки.

2. Поле на круговом контуре

Радиус контура r = 10 см = 0,10 м, магнитная индукция увеличивается со скоростью |dB/dt| = 0,5 Тл/с. Благодаря симметрии напряжённость на окружности одинакова по модулю. Нужно найти её из закона индукции.

1. Поток через контур: Φ = Bπr².
2. Скорость изменения потока: |dΦ/dt| = πr²|dB/dt|.
3. Циркуляция равна E·2πr, поэтому E·2πr = πr²|dB/dt|.
4. После сокращения E = ½r|dB/dt| = ½·0,10·0,5 = 0,025 В/м.

Ответ: E = 0,025 В/м.

3. Поле внутри и снаружи соленоида

Магнитное поле однородно внутри соленоида радиуса R и изменяется со скоростью |dB/dt|. Рассмотрим круговой контур радиуса r с центром на оси соленоида. Поток зависит от того, целиком ли контур находится внутри соленоида.

1. При r < R поток Φ = Bπr², поэтому E·2πr = πr²|dB/dt| и E = ½r|dB/dt|.
2. При r > R магнитное поле проходит только через площадь соленоида: Φ = BπR².
3. Тогда E·2πr = πR²|dB/dt|, откуда E = R²|dB/dt|/(2r).

Ответ: внутри соленоида E = ½r|dB/dt|, снаружи E = R²|dB/dt|/(2r).

Типичные ошибки

Поле возникает только при наличии проводника. Так считают, потому что индукционный ток обычно наблюдают в проводнике. Проверка проста: сначала рассматривайте поле в пространстве, а проводник — только как прибор для его обнаружения.

Линии начинаются на зарядах. Такое изображение переносят из электростатики, где линии действительно связывают заряды. У вихревого поля линии должны замыкаться сами на себя.

Циркуляция любого электрического поля равна нулю. Это верно только для электростатического поля, поэтому в задаче нужно проверить, изменяется ли магнитный поток. Если он изменяется, циркуляция может быть равна ЭДС индукции и не быть нулевой.

Направление выбирают как у изменяющегося поля. Ошибка возникает при забытом правиле Ленца. Проверьте себя вопросом: противодействует ли найденное индукционное поле изменению потока, а не просто направлено ли оно противоположно магнитному полю.

Связь с другими темами

Для понимания вихревого поля нужны представления о напряжённости электрического поля, работе, циркуляции, магнитном потоке и законе электромагнитной индукции. Эти понятия позволяют перейти от словесного описания к формуле ε = −dΦ/dt.

Тема объясняет возникновение вихревых токов и работу трансформаторов и генераторов. В более общем виде связь электрического и магнитного полей входит в уравнения Максвелла.

Что запомнить

• Изменяющееся магнитное поле создаёт вихревое электрическое поле.
• Силовые линии вихревого поля замкнуты.
• Вихревое электрическое поле существует и без проводника.
• Циркуляция вихревого поля по замкнутому контуру равна ЭДС индукции.
• Вихревое поле является непотенциальным.
• Направление индукционного поля определяется правилом Ленца.