§ 12. Вихревое электрическое поле

Определения и обозначения

Вихревое электрическое поле — электрическое поле, возникающее при изменении магнитного поля и имеющее замкнутые силовые линии. Оно действует на электрические заряды, поэтому может приводить их в движение. Это понятие помогает объяснить появление индукционного тока без прямого контакта с источником напряжения.

Индукционное электрическое поле — поле, создаваемое изменяющимся магнитным полем; это другое название вихревого поля. Оно существует и там, где нет проводника: провод не создаёт поле, а лишь позволяет обнаружить его действие на свободные заряды. Поэтому в опытах контур служит индикатором поля, но не его причиной.

Циркуляция напряжённости электрического поля — интеграл напряжённости вдоль замкнутого контура, то есть сумма вкладов поля на всех участках пути. Для электростатического поля такая циркуляция равна нулю, а для вихревого может быть ненулевой. Это свойство позволяет количественно описать действие поля по замкнутому пути.

ЭДС индукции — величина, равная циркуляции напряжённости вихревого поля по замкнутому контуру и определяемая законом электромагнитной индукции. ЭДС характеризует действие поля, которое перемещает заряды вдоль контура. Её измеряют в вольтах, как и напряжение.

Как это устроено

Когда магнитное поле меняется, меняется и магнитный поток через воображаемую поверхность. Такое изменение порождает электрическое поле, которое действует на заряды электрической силой. Заряды испытывают действие поля и в пустом пространстве, поэтому наличие провода для возникновения поля не требуется. Если проводник помещён в эту область, его свободные заряды могут начать упорядоченно двигаться.

У вихревого поля силовые линии замыкаются сами на себя: у них нет точки, где линия начинается или заканчивается. Это связано с тем, что источником поля служит изменение магнитного поля, а не электрический заряд. У электростатического поля картина другая: его линии выходят из положительных зарядов и входят в отрицательные. Сравнение линий сразу помогает определить, какое поле рассматривается.

Вихревое поле непотенциально: это означает, что работа его сил при обходе замкнутого пути в общем случае не равна нулю. Для электростатического поля, напротив, работа по замкнутому пути равна нулю, поскольку результат не зависит от формы пути. У вихревого поля ненулевая работа проявляется как ненулевая циркуляция напряжённости. Её величина связана с тем, насколько быстро меняется магнитный поток через контур.

Закон электромагнитной индукции можно записать так: ∮E·dl = −dΦ/dt. Здесь E — напряжённость поля, Φ — магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром, а dΦ/dt — скорость его изменения. Левая часть равна циркуляции напряжённости и ЭДС индукции; знак минус задаёт направление. По правилу Ленца индукционное действие противодействует изменению магнитного потока, которое его вызвало.

Причину поля и способ его обнаружения важно различать. Причина — меняющееся магнитное поле, которое создаёт вихревое электрическое поле независимо от того, есть ли проводник. Замкнутый проводник позволяет увидеть действие поля: под его влиянием заряды движутся по контуру, и появляется индукционный ток. Если проводника нет, тока не будет, но само поле не исчезнет.

Сравнение электростатического и вихревого электрических полей

Используйте таблицу, чтобы сравнить поля по источнику, форме линий и работе сил. Если задача связана с изменением магнитного потока, ненулевой циркуляцией и замкнутыми линиями, речь идёт о вихревом поле. Нулевая циркуляция характерна для электростатического поля.

Разбор задач

Задача 1. Магнитный поток через контур за 0,20 с равномерно изменился от 0,06 Вб до 0,02 Вб. Найдём модуль ЭДС индукции.

1. Вычислим изменение потока: ΔΦ = 0,02 − 0,06 = −0,04 Вб.
2. Найдём модуль скорости изменения: |ΔΦ/Δt| = 0,04/0,20 = 0,20 Вб/с.
3. По закону Фарадея модуль ЭДС равен модулю этой скорости.

Ответ: 0,20 В.

Задача 2. Поток через плоский контур меняется по закону Φ(t) = 0,03t² Вб. Найдём ЭДС при t = 2 с и её знак относительно выбранного направления обхода.

1. Для мгновенной ЭДС нужно найти производную потока: dΦ/dt = 0,06t Вб/с.
2. При t = 2 с производная равна 0,12 Вб/с.
3. Подставим её в закон Фарадея: ε = −dΦ/dt = −0,12 В.

Ответ: −0,12 В относительно выбранного направления; модуль ЭДС равен 0,12 В. Знак показывает направление действия относительно обхода.

Задача 3. В однородном меняющемся магнитном поле находится круговой контур радиусом 0,10 м. Индукция направлена перпендикулярно плоскости контура и увеличивается со скоростью 0,40 Тл/с. Требуется найти модуль напряжённости вихревого поля на окружности и ЭДС.

1. Площадь круга S = πr² = π·0,10² ≈ 0,0314 м², поэтому |dΦ/dt| = S|dB/dt| ≈ 0,0314·0,40 = 0,0126 Вб/с.
2. По симметрии напряжённость одинакова на окружности, а длина пути равна 2πr. Значит, E·2πr = |dΦ/dt|.
3. Отсюда E = 0,0126/(2π·0,10) ≈ 0,020 Тл·м/с = 0,020 В/м. Модуль ЭДС равен циркуляции, то есть 0,0126 В.

Ответ: E ≈ 0,020 В/м, |ε| ≈ 0,0126 В. Знак ЭДС зависит от выбранного направления обхода.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что вихревое поле существует только внутри проводника. Так думают, потому что в школьных опытах поле часто обнаруживают по току в контуре. Но поле создаёт изменение магнитного поля, а не провод; проверьте себя мысленным опытом без контура — поле останется, хотя тока не будет.

Ошибка: приписывать силовым линиям вихревого поля начало и конец, как у электростатического. Это происходит из-за привычной картины линий, выходящих из зарядов. Вспомните причину возникновения поля: его линии замкнуты, потому что оно не начинается и не заканчивается на зарядах.

Ошибка: полагать циркуляцию напряжённости вихревого поля по замкнутому контуру равной нулю. Нулевую циркуляцию запоминают для электростатического поля и ошибочно переносят на любое электрическое поле. Сверьте условие с законом Фарадея: при изменяющемся магнитном потоке циркуляция в общем случае ненулевая.

Ошибка: терять минус в законе Фарадея или считать его отрицательным модулем ЭДС. Минус не означает, что физическая величина обязательно отрицательна: он связывает выбранное направление обхода с направлением изменения потока. Проверяйте знак по правилу Ленца, а модуль вычисляйте отдельно как |dΦ/dt|.

Связь с другими темами

Для изучения вихревого поля нужны понятия магнитного поля и магнитного потока. Поток зависит от магнитной индукции, площади поверхности и её ориентации относительно поля; изменение любого из этих параметров может изменить поток. Циркуляция напряжённости и закон электромагнитной индукции помогают описывать индукционный ток, а затем используются при изучении самоиндукции и работы электрических генераторов.

Что запомнить

• Изменяющееся магнитное поле создаёт вихревое электрическое поле.
• Вихревое поле может существовать без проводника.
• Силовые линии вихревого поля замкнуты.
• Циркуляция напряжённости связана со скоростью изменения магнитного потока.
• Знак минус в законе Фарадея выражает правило Ленца.
• ЭДС индукции характеризует действие вихревого поля вдоль замкнутого контура.