§ 11. Закон электромагнитной индукции

Определения и обозначения

Электромагнитная индукция — возникновение индукционного тока или ЭДС в замкнутом контуре при изменении магнитного потока через него. Иначе говоря, электрическое явление появляется из-за изменения магнитного воздействия на контур. Это понятие помогает объяснить появление тока без батареи и используется при описании генераторов.

Магнитный поток — величина, характеризующая магнитное поле, пронизывающее поверхность контура. В однородном поле Φ = BS cos α, где B — магнитная индукция, S — площадь контура, а α — угол между полем и нормалью к поверхности. Поток показывает, насколько поле «проходит» через контур, и позволяет учитывать изменение поля, площади или ориентации.

Индукционная ЭДС — ЭДС, возникающая в контуре вследствие изменения магнитного потока. Она характеризует действие, которое приводит заряды в движение, если цепь замкнута. Это понятие нужно, чтобы различать саму причину тока и ток, который возникает в проводнике.

Закон электромагнитной индукции утверждает, что ЭДС индукции равна со знаком минус скорости изменения магнитного потока: ε = −ΔΦ/Δt или ε = −dΦ/dt. Здесь ΔΦ — изменение потока за время Δt, а производная описывает скорость изменения в данный момент. Закон позволяет найти величину ЭДС и учесть направление индукционного действия.

Как это устроено

Магнитный поток зависит от магнитной индукции, площади поверхности контура и угла между полем и нормалью к ней. Поэтому поток изменится, если усилить или ослабить поле, изменить размер контура либо повернуть его. Например, при повороте рамки поле может проходить сквозь её поверхность в большей или меньшей степени, даже если само поле остаётся неизменным.

Когда поток меняется, в контуре возникает индукционная ЭДС: изменение магнитного воздействия связано с появлением электрического действия, способного перемещать заряды. Если проводящий контур замкнут, заряды могут двигаться по нему, и появляется индукционный ток. В разомкнутом контуре ЭДС может существовать, но непрерывный ток по цепи не течёт.

Направление индукционного тока описывает правило Ленца: он создаёт магнитное поле, которое противодействует изменению потока, вызвавшему ток. Если внешний поток через контур растёт, поле тока направлено так, чтобы препятствовать этому росту; если поток уменьшается, ток стремится его поддержать. Противодействие относится именно к изменению, а не обязательно к самому внешнему полю. Поэтому знак минус в формуле задаёт физическое направление индукционного действия.

Величина ЭДС определяется тем, насколько быстро меняется поток. Один и тот же переход от начального потока к конечному даст большую ЭДС, если произойдёт за меньшее время. Если поток не меняется, то ΔΦ = 0 и индукционная ЭДС равна нулю, даже когда поток сам по себе велик.

При равномерном вращении рамки в однородном поле угол между полем и нормалью меняется равномерно. Поэтому магнитный поток изменяется периодически: для рамки с N витками Φ = NBS cos(ωt), где ω — угловая скорость. По закону индукции ЭДС также меняется периодически: ε = NBSω sin(ωt), а её максимальное значение равно NBSω. Поток и ЭДС сдвинуты по фазе на четверть периода: когда поток достигает максимума или минимума, ЭДС равна нулю.

Основные величины и соотношения закона электромагнитной индукции

Сначала выберите формулу для нужной величины и проверьте, какие данные уже известны. Для потока используйте угол между полем и нормалью, а для ЭДС — изменение потока за заданное время. Если требуется только численное значение ЭДС, укажите модуль; знак нужен, когда рассматривается направление.

Разбор задач

Задача 1. Магнитный поток через контур уменьшился с 0,12 Вб до 0,04 Вб за 0,2 с. Нужно найти среднюю ЭДС индукции. Вычисление изменения потока важно вести как конечное значение минус начальное: тогда знак результата покажет направление изменения. Для ответа о величине ЭДС берут модуль.

1. Найдём изменение потока: ΔΦ = 0,04 − 0,12 = −0,08 Вб.
2. Подставим в закон: ε = −ΔΦ/Δt = −(−0,08)/0,2 = 0,4 В.

Ответ: средняя ЭДС равна 0,4 В. Положительный знак здесь зависит от выбранного направления обхода контура, а численное значение ЭДС составляет 0,4 В.

Задача 2. Площадь плоской рамки равна 0,02 м², индукция однородного поля — 0,5 Тл. Угол между нормалью к рамке и полем изменился от 0° до 60° за 0,1 с. Сначала найдём поток в каждом положении: поле и площадь не меняются, меняется только множитель cos α. Затем используем закон для средней ЭДС.

1. Начальный поток: Φ₁ = BS cos 0° = 0,5 · 0,02 · 1 = 0,01 Вб.
2. Конечный поток: Φ₂ = BS cos 60° = 0,5 · 0,02 · 0,5 = 0,005 Вб.
3. Изменение потока ΔΦ = Φ₂ − Φ₁ = −0,005 Вб; поэтому ε = −ΔΦ/Δt = 0,005/0,1 = 0,05 В.

Ответ: средняя ЭДС равна 0,05 В. Здесь указан её модуль, так как направление обхода рамки в условии не задано.

Задача 3. Рамка с N витками вращается в однородном поле с постоянной угловой скоростью ω. Требуется записать зависимости потока и ЭДС от времени и найти максимальную ЭДС. Пусть при t = 0 нормаль к рамке направлена вдоль поля, а площадь одного витка равна S. Тогда угол поворота равен ωt, и поток удобно задать через косинус.

1. Запишем поток через все витки: Φ(t) = NBS cos(ωt).
2. Применим закон: ε(t) = −dΦ/dt = NBSω sin(ωt).
3. Синус принимает наибольшее значение по модулю, равное 1, поэтому εmax = NBSω.

Ответ: Φ(t) = NBS cos(ωt), ε(t) = NBSω sin(ωt), максимальная ЭДС εmax = NBSω. Если начальное положение рамки выбрано иначе, в формулах изменится начальная фаза, но максимальная ЭДС останется той же.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять в закон само значение Φ, а не его изменение за время. Так поступают, если забывают, что закон связывает ЭДС со скоростью изменения потока. Проверьте себя: в знаменателе должна быть длительность процесса, а в числителе — Φ₂ − Φ₁.

Вторая ошибка — забывать знак минус и поэтому неверно определять направление тока. Часто формулу воспринимают только как способ найти число, хотя знак связан с правилом Ленца. Для проверки отдельно выясните, растёт или уменьшается внешний поток, и определите, какое поле должно создать противодействие.

Третья ошибка — использовать угол между плоскостью контура и полем в формуле Φ = BS cos α. Такое происходит, потому что именно плоскость рамки обычно видна на рисунке, но в формуле α отсчитывается от нормали к поверхности. Угол между плоскостью и нормалью составляет 90°, поэтому при известном угле к плоскости его сначала нужно дополнить до 90°.

Четвёртая ошибка — путать магнитный поток с магнитной индукцией или их единицы. Обе величины связаны с магнитным полем, но поток зависит ещё и от площади и ориентации контура. Проверьте обозначения и единицы: B измеряется в теслах (Тл), Φ — в веберах (Вб), а ЭДС — в вольтах (В).

Связь с другими темами

Для изучения индукции нужны понятия магнитной индукции и силовых линий, а также знания о работе и мощности тока. При анализе непрерывного изменения потока пригодятся средняя скорость изменения величины и производная. Закон электромагнитной индукции лежит в основе объяснения работы генераторов, трансформаторов, самоиндукции и электромагнитных колебаний. Его применяют в электростанциях, индукционных датчиках и бесконтактных измерительных устройствах.

Что запомнить

• Электромагнитная индукция возникает при изменении магнитного потока через контур.
• Магнитный поток определяется магнитной индукцией, площадью контура и его ориентацией.
• ЭДС индукции пропорциональна скорости изменения магнитного потока.
• Основная формула закона электромагнитной индукции: ε = −dΦ/dt.
• Знак минус соответствует правилу Ленца.
• Чем быстрее изменяется магнитный поток, тем больше индукционная ЭДС.
• При замкнутом контуре индукционная ЭДС вызывает индукционный ток.