§ 9. Закон электромагнитной индукции

Определения и обозначения

Магнитный поток Φ — величина, характеризующая магнитное поле, проходящее через поверхность. Для однородного поля через плоский контур Φ = BS cos α, где B — магнитная индукция, S — площадь, а α — угол между полем и нормалью к поверхности. Эта величина нужна, чтобы количественно описывать, насколько сильно поле пронизывает контур.

ЭДС индукции εᵢ — электродвижущая сила, возникающая в замкнутом контуре при изменении магнитного потока через ограниченную им поверхность. Она показывает, какая причина заставляет заряды двигаться по контуру. Если цепь замкнута, ЭДС создаёт индукционный ток.

Закон электромагнитной индукции утверждает: ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока со знаком минус: εᵢ = −ΔΦ/Δt. Для катушки из N витков εᵢ = −NΔΦ/Δt, если поток указан для одного витка. Формула позволяет найти величину ЭДС по тому, насколько быстро изменился поток.

Правило Ленца определяет направление индукционного тока: его магнитное поле противодействует изменению потока, вызвавшему ток. Поэтому ток не просто воспроизводит внешнее поле, а стремится ослабить происходящее изменение. Правило помогает понять знак минус в законе и выбрать направление тока.

Как это устроено

Магнитный поток зависит сразу от трёх факторов: магнитной индукции B, площади контура S и его ориентации относительно поля. Это видно из формулы Φ = BS cos α: изменение любого множителя меняет значение потока. Поэтому поток можно изменить, усилив или ослабив поле, деформировав контур либо повернув его.

Изменение магнитного потока вызывает ЭДС, потому что меняющееся магнитное поле создаёт вихревое электрическое поле. Оно действует на свободные заряды проводника и заставляет их перемещаться по контуру. Если контур замкнут, направленное движение зарядов становится индукционным током; в разомкнутом контуре ток не течёт, но ЭДС между его концами может существовать.

Закон индукции связывает ЭДС не просто с изменением потока, а с его изменением за единицу времени. При одном и том же изменении потока более короткий промежуток времени означает большую скорость изменения и большую ЭДС. В катушке действие каждой из N одинаковых витков складывается, поэтому ЭДС увеличивается в N раз.

Знак минус показывает, что индукционный ток направлен против причины своего возникновения. Если внешний поток увеличивается, ток создаёт поле, направленное навстречу внешнему, чтобы ослабить рост. Если внешний поток уменьшается, ток поддерживает его прежнее направление, препятствуя уменьшению.

Для возникновения ЭДС не обязательно двигать магнит относительно контура. Можно оставить контур и магнит неподвижными, но изменить ток в соседней катушке, а значит, и создаваемое ею магнитное поле. ЭДС также появится при повороте контура, изменении его площади или перемещении в неоднородном поле.

Величины и соотношения в законе электромагнитной индукции

В таблице сначала найдите величину или условие, известные в задаче, а затем выберите соответствующее соотношение. При расчётах следите за единицами: поток выражается в веберах, время — в секундах, а ЭДС — в вольтах. Для направления тока используйте не вычисление, а правило Ленца.

Разбор задач

Задача 1

Магнитный поток изменился от Φ₁ = 0,02 Вб до Φ₂ = 0,08 Вб за Δt = 0,3 с. Требуется найти модуль ЭДС индукции в одном контуре. Так как поток изменяется равномерно, можно использовать отношение изменения потока ко времени.

1. Найдём изменение потока: ΔΦ = Φ₂ − Φ₁ = 0,08 − 0,02 = 0,06 Вб.
2. Подставим модуль изменения в закон индукции: |εᵢ| = |ΔΦ|/Δt = 0,06/0,3 = 0,2 В.

Ответ: модуль ЭДС индукции равен 0,2 В. Знак минус здесь не нужен, потому что спрашивается только модуль.

Задача 2

Площадь контура S = 0,04 м², индукция поля B = 0,5 Тл. Угол между полем и нормалью изменился от 0° до 60° за 0,2 с. Сначала найдём два значения потока, а затем сравним их.

1. Начальный поток: Φ₁ = BS cos 0° = 0,5 · 0,04 · 1 = 0,02 Вб.
2. Конечный поток: Φ₂ = BS cos 60° = 0,5 · 0,04 · 0,5 = 0,01 Вб.
3. Изменение по модулю равно 0,01 Вб, поэтому |εᵢ| = |Φ₂ − Φ₁|/Δt = 0,01/0,2 = 0,05 В.

Ответ: средняя ЭДС индукции равна 0,05 В. Поток уменьшился, потому что при повороте косинус угла стал меньше.

Задача 3

Катушка содержит N = 200 витков, а поток через каждый виток уменьшается от 3 мВб до 1 мВб за 0,05 с. Нужно учесть, что данные относятся к одному витку, и определить направление тока. Уменьшение внешнего потока заставляет ток поддерживать его прежнее направление.

1. Изменение потока одного витка по модулю: |ΔΦ| = |1 − 3| мВб = 2 мВб = 0,002 Вб.
2. Модуль ЭДС: |εᵢ| = N|ΔΦ|/Δt = 200 · 0,002/0,05 = 8 В.
3. По правилу Ленца поле индукционного тока направлено так, чтобы поддержать уменьшающийся поток, то есть совпадает с прежним направлением внешнего поля через катушку.

Ответ: |εᵢ| = 8 В; направление тока создаёт магнитное поле, поддерживающее уменьшение внешнего потока.

Типичные ошибки

Считать, что ЭДС появляется только при движении магнита. Так думают из-за самых наглядных опытов, но причина явления — изменение потока, а не само движение. Проверьте, изменился ли B, S или α: если да, ЭДС возможна даже при неподвижном контуре.

Подставлять в формулу сам поток вместо его изменения за время. ЭДС определяется скоростью изменения, поэтому нужно вычислить ΔΦ и разделить его на Δt. Самопроверка проста: если поток не меняется, ΔΦ = 0 и ЭДС должна быть равна нулю.

Забывать множитель N или применять его дважды. Формула с N нужна, когда поток дан для одного витка; если уже указан полный поток катушки, дополнительное умножение не требуется. Перед расчётом уточните, к одному витку или ко всей катушке относится условие.

Игнорировать знак минус и выбирать направление тока по самому магнитному полю. Направление зависит от того, растёт поток или уменьшается, поэтому сначала сравните Φ₁ и Φ₂. Затем определите поле, которое противодействует изменению, и только после этого установите направление тока.

Связь с другими темами

Для изучения закона нужны представления о магнитном поле, магнитной индукции, силовых линиях и поле тока. Эти понятия позволяют понимать, что именно пронизывает контур и как меняется поток.

Закон электромагнитной индукции используется при изучении самоиндукции и индуктивности, где поток связан с током самой цепи. Он также объясняет работу трансформаторов и генераторов, преобразующих энергию механического движения и электрического тока.

Что запомнить

• Электромагнитная индукция возникает при изменении магнитного потока через контур.
• Магнитный поток зависит от магнитной индукции, площади контура и его ориентации в поле.
• Для однородного поля через плоский контур Φ = BS cos α.
• Модуль средней ЭДС индукции равен изменению потока за единицу времени.
• Для катушки из N витков ЭДС индукции пропорциональна N.
• Знак минус в законе индукции отражает правило Ленца.
• Чем быстрее меняется поток, тем больше модуль ЭДС индукции.