Упражнение 5

Определения и обозначения

Электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, силы тока, напряжения и энергии в электрической цепи. Они похожи на механические колебания тем, что состояние системы повторяется через равные промежутки времени. Это понятие позволяет описывать переменный ток и процессы в колебательных контурах.

Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора и катушки индуктивности, в которой возникают свободные электромагнитные колебания. Конденсатор накапливает энергию электрического поля, а катушка — энергию магнитного поля. Поэтому контур служит простой моделью периодического обмена энергией.

Собственная частота — частота свободных колебаний контура, определяемая его ёмкостью и индуктивностью. Чем больше ёмкость или индуктивность, тем медленнее изменяется состояние контура. Зная эти параметры, можно заранее вычислить период и частоту колебаний.

Электромагнитная волна — распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное поле. Она возникает, когда изменяющиеся электрическое и магнитное поля поддерживают друг друга и переносят энергию. Колебательный контур может создавать такие изменения, поэтому его изучение связано с радиосвязью и передачей сигналов.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают, поэтому его обкладки имеют противоположные заряды, а энергия сосредоточена в электрическом поле. После замыкания цепи заряд начинает двигаться по проводнику, то есть появляется ток. Ток создаёт магнитное поле катушки, и энергия постепенно переходит из электрической формы в магнитную.

Когда конденсатор полностью разрядился, ток не прекращается мгновенно: катушка препятствует резкому изменению тока явлением самоиндукции. Поэтому ток продолжает течь и заряжает конденсатор уже с противоположной полярностью. Магнитное поле при этом ослабевает, а его энергия снова превращается в энергию электрического поля.

В идеальном контуре сопротивление отсутствует, поэтому энергия не рассеивается в виде теплоты. После каждого обмена энергией система возвращается в прежнее состояние, и амплитуда колебаний остаётся постоянной. В реальной цепи сопротивление проводов и катушки превращает часть энергии во внутреннюю, поэтому заряд и ток постепенно уменьшаются.

Для идеального контура второй закон Кирхгофа и определения тока дают дифференциальное уравнение: Lq″ + q/C = 0. Оно имеет гармоническое решение q = qₘ cos(ωt + φ), где ω = 1/√(LC). Так как T = 2π/ω, получают формулу Томсона T = 2π√(LC), а частота равна ν = 1/T.

Если известна зависимость величины от времени, амплитуда определяется наибольшим отклонением от среднего значения, а период — временем между одинаковыми состояниями. Частота находится как ν = 1/T, а фаза показывает, в какой части цикла находится система в выбранный момент. Заряд и напряжение изменяются синхронно, потому что q = CU, а ток является производной заряда: I = dq/dt.

Основные характеристики электромагнитных колебаний

Сначала определите, какая величина дана в условии, и выберите соответствующую строку. Для вычислений с формулой Томсона ёмкость и индуктивность обязательно переводят в фарады и генри. При анализе энергии полезно определить, максимален ли заряд или ток: это сразу показывает, какое поле содержит большую часть энергии.

Разбор задач

Задача 1

Условие: конденсатор ёмкостью 2 мкФ соединён с катушкой индуктивностью 0,5 Гн. Определим период и частоту собственных колебаний.

1. Переведём ёмкость в СИ: C = 2 мкФ = 2·10⁻⁶ Ф, L = 0,5 Гн.
2. По формуле Томсона T = 2π√(LC) находим T = 2π√(0,5·2·10⁻⁶) = 2π·10⁻³ ≈ 6,28·10⁻³ с.
3. Частота обратна периоду: ν = 1/T ≈ 1/(6,28·10⁻³) ≈ 159 Гц. Размерность результата согласуется с тем, что частота измеряется в герцах.

Ответ: T ≈ 6,28 мс, ν ≈ 159 Гц.

Задача 2

Условие: в контуре максимальный заряд конденсатора равен qₘ. Запишем зависимости заряда и силы тока от времени и найдём максимальный ток.

1. Выберем начальную фазу нулевой и запишем q = qₘ cos ωt. Такой выбор означает, что в момент t = 0 заряд максимален.
2. Ток равен производной заряда: I = dq/dt = −ωqₘ sin ωt. Знак показывает направление тока относительно выбранного положительного направления.
3. Максимальное по модулю значение синуса равно единице, поэтому Iₘ = ωqₘ. Заряд и ток достигают максимумов в разные моменты, то есть сдвинуты по фазе на π/2.

Ответ: q = qₘ cos ωt, I = −ωqₘ sin ωt, Iₘ = ωqₘ.

Задача 3

Условие: в некоторый момент конденсатор разряжен, а сила тока максимальна. Требуется определить распределение энергии и момент следующего максимального заряда.

1. При q = 0 энергия электрического поля Wэ = q²/(2C) равна нулю. Поскольку ток максимален, энергия магнитного поля Wм = LI²/2 максимальна и равна полной энергии контура.
2. Состояние с нулевым зарядом и максимальным током соответствует середине перехода от одного максимального заряда к противоположному. Поэтому до следующего максимального по модулю заряда проходит четверть периода.
3. Если в начальный момент t = 0 конденсатор разряжен, то следующий максимум заряда будет при t = T/4. Его знак зависит от направления тока: заряд достигнет либо +qₘ, либо −qₘ.

Ответ: в начальный момент Wэ = 0, Wм = W; следующий максимальный заряд будет через T/4.

Типичные ошибки

Неперевод единиц. Подстановка микрофарад или миллигенри вместо единиц СИ изменяет результат на несколько порядков. Такая ошибка появляется из-за внешне небольших чисел в условии. Проверьте, что C выражена в фарадах, L — в генри, а T получился в секундах.

Путаница периода и частоты. Формула Томсона даёт период T, а не частоту: ν = 1/T. Ошибка возникает, когда забывают обратить результат или называют секунды герцами. Самопроверка проста: чем больше период, тем меньше частота.

Одновременные максимумы заряда и тока. Заряд и ток связаны производной, поэтому ток сдвинут по фазе на π/2. Максимальный заряд соответствует нулевому току, а максимальный ток — нулевому заряду. Сверьте выбранные моменты с формулами q = qₘ cos ωt и I = −ωqₘ sin ωt.

Сохранение энергии в реальном контуре. В цепи с сопротивлением часть энергии выделяется в виде теплоты, поэтому полная энергия колебаний уменьшается. Закон Wэ + Wм = const без оговорки относится к идеальному контуру. Если сопротивление заметно, учитывайте затухание амплитуды.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны закон сохранения энергии, формулы ёмкости конденсатора и индуктивности катушки, понятия силы тока и производной гармонической функции. Эти знания помогают связать физическое описание процесса с его математической моделью.

Колебательные контуры лежат в основе изучения переменного тока, трансформатора и радиосвязи. Изменяющиеся поля контура связаны с электромагнитными волнами, а настройка контура позволяет выбирать нужную частоту сигнала.

Что запомнить

• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки.
• Энергия периодически переходит из электрического поля в магнитное и обратно.
• Период собственных колебаний определяется формулой Томсона.
• Частота обратно пропорциональна периоду.
• Заряд и напряжение на конденсаторе изменяются синхронно.
• Сила тока сдвинута по фазе относительно заряда и напряжения.
• В реальном контуре колебания затухают из-за сопротивления.