§ 2.10. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Закон Ома для участка цепи связывает силу тока I, напряжение U и сопротивление R формулой I = U/R. Он применяется к выбранному участку, поэтому в формулу подставляют напряжение именно на нём. Закон помогает найти неизвестную величину, если известны две другие.

Закон Ома для полной цепи учитывает ЭДС ε источника, внешнее сопротивление R и внутреннее сопротивление r: I = ε/(R + r). Внутреннее сопротивление находится внутри источника и препятствует току. Закон нужен, чтобы определить ток всей цепи и напряжение на зажимах.

Эквивалентное сопротивление — одно сопротивление, которым заменяют соединение нескольких проводников без изменения тока во внешней части цепи. При последовательном соединении сопротивления складываются, а при параллельном складываются проводимости, то есть величины 1/R. Такая замена упрощает схему и расчёты.

Правила Кирхгофа позволяют составлять уравнения для разветвлённых цепей. Первое правило описывает токи в узле, а второе — напряжения и ЭДС в замкнутом контуре. С их помощью находят токи, когда одной формулы для эквивалентного сопротивления недостаточно.

Как это устроено

Сначала условие переводят в электрическую схему: отмечают источник, резисторы, узлы и ветви. Узел — место соединения нескольких проводников, ветвь — участок между соседними узлами, а направление тока можно выбрать произвольно. Такой рисунок показывает, какие элементы соединены последовательно или параллельно, поэтому предотвращает подстановку неподходящей формулы.

Сначала выбирают физическую модель и записывают общие формулы, а числа подставляют после преобразований. Так сохраняется структура решения: видно, какие величины зависят друг от друга и где сокращаются единицы. Кроме того, буквенная формула позволяет заметить ошибку до вычислений и проверить предельные случаи.

При последовательном соединении через все элементы проходит один и тот же ток, поэтому Rобщ = R₁ + R₂ + … . Напряжения распределяются пропорционально сопротивлениям: U₁/U₂ = R₁/R₂. При параллельном соединении напряжение на ветвях одинаково, токи складываются, а эквивалентное сопротивление находят из 1/Rобщ = 1/R₁ + 1/R₂ + … .

Реальный источник имеет ЭДС ε и внутреннее сопротивление r, поэтому часть энергии выделяется внутри него. Ток полной цепи равен I = ε/(R + r), а напряжение на внешней цепи U = IR = ε − Ir. Проверка решения включает размерности, разумность предельных случаев, расчёт мощности P = UI и сравнение мощности источника с мощностью нагрузки: энергия не исчезает, а распределяется между внешней цепью и источником.

Алгоритмы решения задач на постоянный ток

Сначала найдите тип соединения и выберите строку таблицы, соответствующую физической модели. Затем используйте основные уравнения, не смешивая напряжение всей цепи с напряжением отдельной ветви. В конце выполните проверку из последнего столбца.

Разбор задач

Последовательное соединение

Условие: к источнику напряжения U подключены последовательно резисторы R₁ и R₂; требуется найти ток, напряжения и мощности. Численные значения не заданы, поэтому решение запишем в общем виде. Такая запись подходит для любых конкретных данных.

1. Эквивалентное сопротивление Rобщ = R₁ + R₂.
2. Общий ток I = U/(R₁ + R₂), поскольку он одинаков в обоих резисторах.
3. Напряжения U₁ = IR₁ и U₂ = IR₂, мощности P₁ = I²R₁ и P₂ = I²R₂.

Ответ: ток равен U/(R₁ + R₂), напряжения и мощности находятся по формулам выше. Проверка: U₁ + U₂ = U, а мощность всей цепи равна P₁ + P₂.

Источник с внутренним сопротивлением

Условие: источник имеет ЭДС ε и внутреннее сопротивление r, а к нему подключена нагрузка R. Нужно определить ток, напряжение на зажимах, мощность нагрузки и КПД. Внешняя нагрузка и внутреннее сопротивление соединены последовательно для тока источника.

1. Полное сопротивление цепи R + r, поэтому I = ε/(R + r).
2. Напряжение на нагрузке U = IR, мощность нагрузки Pнаг = I²R.
3. Мощность, развиваемая источником, Pист = εI, а КПД η = Pнаг/Pист = R/(R + r).

Ответ: искомые величины определяются этими формулами. Если r не учитывать, ток и мощность нагрузки получатся завышенными, поскольку часть энергии выделяется внутри источника.

Разветвлённая цепь с двумя источниками

Условие: в цепи несколько резисторов и два источника, требуется найти токи ветвей и их направления. Сначала направления токов выбирают условно, даже если заранее неизвестно, куда они текут. Затем составляют уравнения для узлов и независимых контуров.

1. Для каждого участка обозначьте ток I₁, I₂ и так далее.
2. В узле запишите первое правило Кирхгофа: сумма входящих токов равна сумме выходящих.
3. Для контуров примените второе правило Кирхгофа, учитывая знаки ЭДС и падений напряжения IR, затем решите систему.

Ответ: найденные значения токов дают величину и направление. Отрицательный результат означает, что фактическое направление противоположно выбранному; по модулю ток остаётся равным найденному значению.

Типичные ошибки

Напряжение источника подставляют в закон Ома для отдельного резистора, потому что путают всю цепь с её частью. В последовательной цепи напряжение распределяется между элементами. Проверьте себя равенством U = U₁ + U₂, а для выбранного резистора используйте только его Uᵢ.

Формулу последовательного соединения применяют к параллельному, не выяснив, что именно одинаково. При последовательном соединении одинаков ток, при параллельном — напряжение. Нарисуйте схему и проверьте, меньше ли найденное параллельное сопротивление каждого отдельного.

Внутреннее сопротивление источника забывают, если считают его идеальным. Тогда используют ε/R вместо ε/(R + r) и получают слишком большие ток и мощность нагрузки. Если r дано в условии, оно должно появиться в полном сопротивлении цепи.

Отрицательный ток считают признаком неправильного решения, хотя направление было выбрано условно. Знак показывает, что настоящий ток идёт в обратную сторону. Проверьте уравнения Кирхгофа и поменяйте направление на противоположное, сохранив модуль результата.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны понятия силы тока, напряжения, сопротивления, закон Ома и правила соединения проводников. Без них невозможно определить, какая величина относится ко всей цепи, а какая — к отдельному участку. Поэтому эти знания служат основой расчёта постоянного тока.

Методы расчёта применяются при изучении электрических измерений и цепей с несколькими источниками. Они помогают понять, почему амперметр включают последовательно, а вольтметр — параллельно. Те же модели используются при расчёте мощности электроприборов.

Правила Кирхгофа связаны с законами сохранения заряда и энергии. Баланс токов отражает сохранение заряда в узле, а баланс напряжений — сохранение энергии в контуре. Поэтому проверка энергетического баланса является физической, а не только математической.

Что запомнить

• Сначала составляют схему и выбирают модель, затем записывают уравнения.
• Для последовательного соединения одинаков ток, а сопротивления складываются.
• Для параллельного соединения одинаково напряжение, а складываются проводимости.
• В полной цепи ток определяется суммой внешнего и внутреннего сопротивлений.
• Мощность тока можно находить по формулам P = UI, P = I²R и P = U²/R.
• Отрицательный результат для тока указывает на противоположное выбранному направление.
• Правильность решения проверяют размерностями и физическим смыслом результата.