"Физика", Громов С.В., Родина Н.А., Белага В.В. и др./Под ред. Ю.А. Панебратцева
Равномерное движение по окружности — это движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит равные дуги. Оно описывает вращение колёс и шестерён, а также движение планет и спутников. Чтобы находить скорость тела и сравнивать вращения, используют радиус окружности, период одного оборота и частоту оборотов. При таком движении модуль скорости не меняется, но её направление постоянно поворачивает.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерное движение по окружности — движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит равные дуги окружности. Дуга — часть окружности между двумя точками. Такое определение помогает отличить равномерное движение от движения по окружности, при котором тело может то ускоряться, то замедляться.
Период обращения T — время одного полного оборота тела по окружности. Например, если колесо совершает оборот за 0,5 с, его период равен 0,5 с. Период нужен, чтобы узнать, сколько длится один оборот и какой путь тело проходит за это время.
Частота обращения ν — число полных оборотов тела за единицу времени. Если за одну секунду тело делает три оборота, частота равна 3 Гц. Частота позволяет описать, насколько быстро повторяются обороты, и сравнить вращение разных тел.
Линейная скорость v — скорость движения тела по касательной к окружности в каждой точке траектории. Касательная — прямая, которая касается окружности в одной точке и показывает направление движения тела именно там. Линейная скорость нужна, чтобы узнать, какой путь тело проходит за единицу времени; её измеряют в м/с.
При равномерном движении по окружности за одинаковое время тело проходит одинаковые дуги, поэтому длина пройденного пути за секунду остаётся одинаковой. Это значит, что модуль скорости, то есть её числовое значение, постоянен. Но скорость — векторная величина: кроме значения, у неё есть направление. Тело всё время поворачивает, поэтому вектор скорости непрерывно меняет направление и в каждой точке направлен по касательной.
За один полный оборот тело возвращается в исходную точку и проходит всю окружность. Если её радиус равен R, длина окружности составляет 2πR, где π примерно равно 3,14. Например, при увеличении радиуса вдвое путь за один оборот тоже увеличится вдвое. Поэтому за время одного периода T тело проходит путь s = 2πR.
Скорость показывает, какой путь тело проходит за единицу времени. За период T оно проходит 2πR, значит, скорость можно найти, разделив этот путь на время: v = 2πR/T. Формула применима, если известны радиус окружности и время одного оборота. Так становится понятно, почему нельзя делить на период только радиус: за оборот тело проходит не радиус, а длину всей окружности.
Период сообщает время одного оборота, а частота — число оборотов за секунду. Если один оборот длится T секунд, то за одну секунду тело совершит 1/T оборота, поэтому ν = 1/T. И наоборот, если за секунду происходит ν оборотов, на один оборот приходится время T = 1/ν. Так получают взаимно обратные формулы T = 1/ν и ν = 1/T.
Если тело совершает ν оборотов за секунду, за это время оно проходит ν полных окружностей. Путь за секунду равен длине одного оборота 2πR, умноженной на число оборотов ν. Путь за секунду — это скорость, поэтому получается формула v = 2πRν. Она удобна, когда в условии задачи дана частота, а не период.
| Величина | Обозначение | Формула или смысл | Единица СИ |
|---|---|---|---|
| Радиус окружности | R | Расстояние от центра до окружности | м |
| Период обращения | T | Время одного полного оборота | с |
| Частота обращения | ν | Число оборотов за единицу времени; ν = 1/T | Гц (1/с) |
| Путь за один оборот | s | s = 2πR | м |
| Линейная скорость | v | v = 2πR/T = 2πRν | м/с |
Сначала найдите в условии известные величины и переведите их в единицы СИ. Если дано время одного оборота, используйте период; если число оборотов за секунду — частоту. Формулы из таблицы связывают путь за оборот, время и скорость.
Колесо радиусом 0,2 м совершает один полный оборот за 0,4 с. Нужно найти скорость точки на ободе. За один оборот она проходит длину окружности, поэтому сначала вычислим этот путь, а затем разделим его на время оборота.
Ответ: скорость точки на ободе равна 3,14 м/с. Результат получен делением пути за полный оборот на время, за которое этот путь пройден.
Тело движется по окружности радиусом 3 м со скоростью 6 м/с. Требуется определить период и частоту обращения. Скорость и радиус известны, поэтому из формулы v = 2πR/T выразим сначала период, а после найдём обратную ему частоту.
Ответ: период примерно равен 3,14 с, частота — 0,32 Гц. Частота меньше одного герца, потому что тело совершает меньше одного оборота за секунду.
Две точки движутся по окружностям радиусами 0,5 м и 1,5 м и совершают по 4 оборота в секунду. Нужно сравнить их скорости и пути за 10 с. При одинаковой частоте точка на окружности большего радиуса проходит больший путь за каждый оборот, поэтому ожидаем, что её скорость окажется больше.
Ответ: скорость второй точки втрое больше, как и пройденный ею путь за 10 с. При одинаковой частоте увеличение радиуса в три раза увеличивает скорость и путь за то же время в три раза.
Ошибка: считать любое движение по окружности равномерным. Сам факт, что траектория круговая, не означает, что тело проходит равные дуги за равные промежутки времени: оно может двигаться то быстрее, то медленнее. Такая путаница возникает, когда обращают внимание только на форму траектории. Проверьте, заданы ли равные пути за равные интервалы времени или постоянная скорость по модулю.
Ошибка: путать период T и частоту ν. Период — время одного оборота, а частота — число оборотов за единицу времени, поэтому их значения нельзя подставлять друг вместо друга. Путаница часто возникает из-за того, что обе величины описывают обороты. Проверка проста: T измеряется в секундах, ν — в герцах, а их произведение Tν равно 1.
Ошибка: использовать формулу v = R/T вместо v = 2πR/T. Радиус — это расстояние от центра до окружности, а тело за оборот проходит полный круг длиной 2πR. Радиус принимают за путь, если забывают, что движение продолжается по всей окружности. Перед делением на T запишите путь за оборот и проверьте, что в нём есть множитель 2π.
Ошибка: говорить, что вектор скорости постоянен. При равномерном движении по окружности постоянен только модуль скорости, то есть её числовое значение, а направление непрерывно изменяется. Ошибку допускают, сводя скорость только к числу. Проверьте себя: если вектор направлен по касательной, то при переходе в другую точку касательная поворачивает вместе с телом.
Для изучения движения по окружности нужны знакомые формулы пути, скорости и времени, умение переводить единицы измерения и формула длины окружности. Эти знания позволяют связать путь за один оборот с периодом и скоростью. Далее тема помогает разбираться во вращательном движении, движении планет и спутников, а также в работе колёс, шестерён и других механизмов. Например, связь частоты вращения и скорости полезна при изучении движения деталей машин.
Почему движение по окружности называют равномерным, если направление скорости меняется?
Равномерность здесь означает, что за равные промежутки времени тело проходит равные дуги. Поэтому модуль скорости остаётся постоянным. Направление вектора скорости меняется, так как в каждой точке он направлен по касательной к окружности.
Чем период отличается от частоты обращения?
Период показывает, сколько времени занимает один полный оборот, и измеряется в секундах. Частота показывает число оборотов за одну секунду и измеряется в герцах. Эти величины обратны: T = 1/ν, а ν = 1/T.
Почему в формуле скорости появляется множитель 2π?
За один оборот тело проходит длину всей окружности. Длина окружности радиусом R равна 2πR, поэтому скорость за период можно найти как v = 2πR/T.
Можно ли найти скорость, если известны только радиус и частота?
Да. За одну секунду тело совершает ν оборотов и проходит путь 2πRν. Поэтому скорость равна v = 2πRν.
Одинаковы ли скорости точек на ободе и в центре вращающегося колеса?
Нет. Точка на ободе движется по окружности ненулевого радиуса, а скорость при вращении зависит от радиуса: v = 2πRν. Центр колеса остаётся на месте, поэтому его линейная скорость равна нулю.
§ 5. Равномерное движение по окружности
