§ 14. Кинетическая энергия

Определения и обозначения

Кинетическая энергия — энергия движения тела; её обозначают E_к. Например, движущийся мяч может сдвинуть предмет, а автомобиль — деформировать преграду: движение позволяет телу совершать работу. Понятие энергии помогает описывать такую способность количественно. Чем больше кинетическая энергия тела, тем больше работы оно может совершить при подходящих условиях.

Формула кинетической энергии: E_к = mv²/2, где m — масса тела, а v — его скорость. Массу подставляют в килограммах, скорость — в метрах в секунду. Формула позволяет вычислить энергию, если известны масса и скорость. Её также можно преобразовать, чтобы найти неизвестную массу или скорость.

Джоуль — единица измерения энергии и работы в Международной системе единиц (СИ). Один джоуль соответствует работе силы в один ньютон на пути в один метр; для кинетической энергии 1 Дж = 1 кг·м²/с². Единица нужна, чтобы сравнивать энергию разных тел и правильно записывать результаты вычислений. Если величины даны в других единицах, перед подстановкой их переводят в СИ.

Теорема о кинетической энергии утверждает: работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии тела. Равнодействующая — это одна сила, которая оказывает такое же общее действие, как все приложенные силы вместе. Связь записывают так: A = ΔE_к = E_к2 − E_к1. Теорема помогает находить работу сил, даже если путь движения известен не полностью.

Как это устроено

Движущееся тело может передать часть своего движения другому телу и изменить его состояние. Например, скатившийся шар способен толкнуть стоящий шар, то есть совершить работу. Чем тяжелее тело или чем быстрее оно движется, тем сильнее может оказаться действие при столкновении. Кинетическая энергия служит мерой способности тела совершать работу именно благодаря движению.

Чтобы получить формулу энергии, рассмотрим работу постоянной силы на пути: A = Fs. По второму закону Ньютона F = ma, поэтому A = mas. При равноускоренном движении связь пути и скоростей имеет вид v² − v₀² = 2as, откуда as = (v² − v₀²)/2. Подстановка даёт A = mv²/2 − mv₀²/2, то есть работа равна изменению величины mv²/2; если тело разгоняется из покоя, его кинетическая энергия равна mv²/2.

В формуле E_к = mv²/2 масса стоит в первой степени, поэтому при неизменной скорости увеличение массы в несколько раз во столько же раз увеличивает энергию. Скорость возведена в квадрат: если она увеличилась в n раз, энергия стала больше в n² раз. Квадрат появляется из связи скорости с пройденным путём при равноускоренном движении и из того, что работа равна силе, умноженной на путь. Поэтому удвоение скорости даёт не удвоение, а четырёхкратное увеличение энергии.

Если равнодействующая совершает положительную работу, она передаёт энергию телу и увеличивает его кинетическую энергию. При отрицательной работе сила отбирает энергию у движущегося тела, поэтому его кинетическая энергия уменьшается; так происходит при торможении. Если работа равна нулю, изменение кинетической энергии также равно нулю. Важно сравнивать конечную и начальную энергии, а не считать, что работа всегда равна всей конечной энергии.

Кинетическая энергия определяется через скорость, а скорость зависит от того, относительно чего её измеряют. Поэтому одно и то же тело может иметь разные значения E_к в разных системах отсчёта. Масса положительна, а квадрат скорости не бывает отрицательным, значит и кинетическая энергия не может быть отрицательной. В покое скорость равна нулю, и формула даёт нулевую энергию движения.

Кинетическая энергия и её изменение

В таблице собраны формулы, обозначения и единицы, нужные для задач. Чтобы найти изменение энергии, вычти начальное значение из конечного, сохраняя порядок: конечное минус начальное. Затем сравни работу с этим изменением: одинаковый знак показывает, увеличилась или уменьшилась энергия.

Разбор задач

Задача 1. Тело массой 4 кг движется со скоростью 5 м/с. Найдите его кинетическую энергию. Из условия уже известны масса и скорость, поэтому применяем формулу E_к = mv²/2. Обратите внимание: сначала возводим скорость в квадрат, а затем выполняем умножение и деление.

1. Записываем данные в СИ: m = 4 кг, v = 5 м/с.
2. Подставляем значения: E_к = 4 · 5²/2 = 4 · 25/2 = 50 Дж.
3. Проверяем единицу: килограмм, умноженный на квадрат метра в секунду, соответствует джоулю.

Ответ: кинетическая энергия равна 50 Дж. Результат положителен, поскольку тело движется и его скорость отлична от нуля. Если бы масса при той же скорости была вдвое больше, энергия тоже увеличилась бы вдвое.

Задача 2. Кинетическая энергия тела массой 2 кг равна 100 Дж. Определите скорость тела. Здесь неизвестна скорость, поэтому нужно преобразовать исходную формулу и оставить v отдельно. Поскольку скорость в формуле возведена в квадрат, после преобразования потребуется извлечь квадратный корень.

1. Записываем формулу: E_к = mv²/2.
2. Умножаем обе части на 2 и делим на m: v² = 2E_к/m.
3. Подставляем данные: v = √(2 · 100/2) = √100 = 10 м/с.
4. Берём неотрицательный корень: скорость как модуль не может иметь отрицательного значения.

Ответ: скорость тела равна 10 м/с. Проверка подстановкой даёт E_к = 2 · 10²/2 = 100 Дж. Если бы масса была задана не в килограммах, сначала потребовался бы перевод в СИ.

Задача 3. Тележка массой 3 кг увеличила скорость с 2 до 6 м/с. Какую работу совершила равнодействующая сил? По теореме о кинетической энергии работа равна конечной энергии минус начальная. Нельзя подставить только конечную скорость: тележка уже обладала энергией до разгона. Вычислим обе энергии и найдём их разность.

1. Начальная энергия: E_к1 = 3 · 2²/2 = 6 Дж.
2. Конечная энергия: E_к2 = 3 · 6²/2 = 54 Дж.
3. Находим изменение: ΔE_к = 54 − 6 = 48 Дж, следовательно, A = 48 Дж.

Ответ: равнодействующая совершила работу 48 Дж. Работа положительна, потому что скорость и кинетическая энергия тележки увеличились. Разность энергий, а не одна конечная энергия, показывает, сколько энергии передали тележке.

Типичные ошибки

Если подставить скорость вместо её квадрата, получится неверная зависимость энергии от движения. Так ошибаются, потому что забывают показатель степени или считают, что удвоение скорости просто удваивает энергию. Проверь запись формулы до вычислений: у v должен стоять показатель 2. Для самопроверки сравни два случая: удвоение скорости должно увеличить энергию в четыре раза.

Подстановка массы в граммах или скорости в километрах в час без перевода в СИ даёт неверный результат. Обычно ошибка возникает потому, что единицы в условии принимают за подходящие автоматически. Перед вычислением запиши массу в килограммах, скорость в метрах в секунду, а ответ — в джоулях. Проверь, что подставленные величины соответствуют единицам формулы.

При вычислении работы иногда берут только конечную кинетическую энергию, хотя тело могло двигаться и в начале. Это путают с формулой энергии, забывая, что работа равна именно её изменению. Записывай A = E_к2 − E_к1 и вычисляй обе энергии отдельно. Если начальная скорость нулевая, начальная энергия равна нулю, но это нужно установить по условию.

Извлекая корень из выражения для скорости, можно ошибочно выбрать отрицательное значение. Такой ответ появляется потому, что у уравнения v² = a математически бывают два корня. В этой задаче v обозначает модуль скорости, поэтому выбирают неотрицательный корень. Проверь также, что ответ записан в метрах в секунду и согласуется с условием.

Связь с другими темами

Для изучения кинетической энергии нужны понятия работы силы, массы и скорости, а также формулы равноускоренного движения: именно они помогают понять вывод выражения E_к = mv²/2. Мощность связана с тем, как быстро совершается работа, но сама по себе не заменяет энергию. Позже кинетическая энергия будет использоваться вместе с потенциальной энергией при изучении механической энергии и закона её сохранения. Теорема о кинетической энергии помогает анализировать движение тела под действием сил и решать задачи на превращение энергии.

Что запомнить

• Кинетическая энергия — энергия движения тела.
• E_к = mv²/2.
• Единица кинетической энергии — джоуль.
• При увеличении массы в несколько раз кинетическая энергия увеличивается во столько же раз.
• При увеличении скорости в несколько раз кинетическая энергия увеличивается в квадрат соответствующего числа раз.
• Работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии.
• Кинетическая энергия тела, находящегося в покое, равна нулю.