§ 3.12. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Работа газа — энергия, переданная газом при изменении объёма. При расширении работа положительна, а при сжатии отрицательна: при постоянном давлении A = p(V₂ − V₁). Это соглашение помогает правильно записать энергетический баланс и понять, кто совершает работу — газ или внешнее тело.

Первое начало термодинамики связывает количество теплоты Q, изменение внутренней энергии ΔU и работу газа A: Q = ΔU + A. Полученная газом теплота расходуется на изменение его внутренней энергии и на работу, которую он совершает. Формула нужна, чтобы находить неизвестную энергетическую величину, зная две другие.

Уравнение состояния идеального газа имеет вид pV = nRT и связывает давление p, объём V, температуру T и количество вещества n. Если часть параметров известна, уравнение позволяет найти остальные или сравнить два состояния одного газа. Температуру в таких расчётах подставляют в кельвинах.

Коэффициент полезного действия тепловой машины показывает, какая доля полученной от нагревателя теплоты превращается в полезную работу. Он равен отношению работы за цикл к теплоте нагревателя: η = A/Q₁. КПД не может превышать единицу, поскольку машина не превращает в работу больше энергии, чем получает.

Как это устроено

Решение начинают с выбора системы — например, газа в цилиндре — и записи его начального и конечного состояний. Так становится ясно, какие изменения произошли именно с выбранным телом и какие величины нужно сравнить. Без этого легко перепутать работу газа с работой внешней силы или отнести теплоту не к тому этапу процесса.

Вид процесса определяют по условию: постоянный объём означает изохорный процесс, постоянное давление — изобарный, постоянная температура — изотермический. Если теплообмена нет, процесс адиабатный. Эти признаки нужны потому, что при каждом процессе меняются разные величины: например, при постоянном объёме работа газа равна нулю, а при постоянной температуре идеального газа его внутренняя энергия не изменяется.

Перед подстановкой чисел полезно записать первое начало термодинамики и отдельно определить знаки Q и A. Теплота положительна, если газ получает энергию, и отрицательна, если отдаёт её; работа газа положительна при расширении. Если заменить работу её модулем или не учесть направление теплопередачи, уравнение перестанет описывать реальный энергетический обмен.

Для идеального газа внутренняя энергия определяется температурой, поэтому её изменение находят через ΔT, а не напрямую через работу или теплоту. Уравнение pV = nRT связывает изменения температуры с давлением и объёмом: например, при неизменном давлении отношение V/T постоянно. Сначала находят изменение температуры или сравнивают состояния, затем вычисляют ΔU; так можно проверить, согласуется ли результат с первым началом.

В тепловой машине за цикл рабочее тело возвращается в исходное состояние, поэтому изменение его внутренней энергии за весь цикл равно нулю. Это позволяет составить баланс между теплотой от нагревателя, теплотой, отданной холодильнику, и работой машины: A = Q₁ − Q₂. Рассмотрение одного участка цикла не даёт полного результата, потому что на других участках тело также получает или отдаёт энергию.

Основные величины и приёмы решения задач по термодинамике

Сначала найдите в таблице строку, соответствующую процессу или искомой величине, а затем проверьте условия применимости формулы. В последнем столбце перечислены не дополнительные вычисления, а проверки, которые помогают обнаружить ошибку в знаке или физическом смысле ответа.

Разбор задач

Задача 1. Одноатомный идеальный газ при постоянном давлении расширяется от V₁ до V₂; известны p и начальная температура T₁. Найти работу газа, изменение внутренней энергии и полученную теплоту. Обозначим конечную температуру T₂ и считаем, что V₂ > V₁. Сначала нужно установить, как меняется температура, а затем применить первое начало.

1. При постоянном давлении V/T = const, поэтому T₂/T₁ = V₂/V₁ и ΔT = T₁(V₂/V₁ − 1).
2. Работа газа равна A = p(V₂ − V₁), она положительна при расширении.
3. Для одноатомного газа ΔU = 3/2 nRΔT. Из pV₁ = nRT₁ следует ΔU = 3/2 p(V₂ − V₁).
4. По первому началу Q = ΔU + A = 5/2 p(V₂ − V₁). Полученная теплота положительна, что соответствует нагреванию газа при таком расширении.

Ответ: A = p(V₂ − V₁), ΔU = 3/2 p(V₂ − V₁), Q = 5/2 p(V₂ − V₁). Проверка показывает, что и работа, и внутренняя энергия увеличиваются, поэтому газ должен получить теплоту. Если в условии заданы численные значения, их подставляют в формулы в согласованных единицах.

Задача 2. Газ переводят из состояния (p₁, V₁) сначала при постоянном объёме, затем при постоянном давлении p₂ в состояние (p₂, V₂). Требуется сравнить работу, теплоту и изменение внутренней энергии на этапах. Чтобы не смешивать процессы, обозначим промежуточное состояние через индекс «а». Для определённости рассматриваем идеальный газ, количество которого не меняется.

1. На первом, изохорном этапе V = V₁, поэтому A₁ = 0. Температуры находят из pV = nRT, а Q₁ = ΔU₁, поскольку работа отсутствует.
2. На втором, изобарном этапе давление равно p₂. Работа A₂ = p₂(V₂ − V₁); её знак зависит от того, увеличился или уменьшился объём.
3. Изменение внутренней энергии каждого этапа находят по ΔU = (i/2)nRΔT. Для всего перехода ΔUобщ = ΔU₁ + ΔU₂ и должно совпасть с изменением, вычисленным по начальной и конечной температурам.
4. Для второго этапа теплота Q₂ = ΔU₂ + A₂. Сравнивать величины нужно по их знакам и значениям, а не только по модулям.

Ответ: на первом этапе работа нулевая, а теплота равна изменению внутренней энергии; на втором работу определяет изменение объёма при p₂. Численные сравнения выполняют после подстановки параметров состояний и нахождения промежуточной температуры. Сумма изменений внутренней энергии на этапах должна равняться её изменению между начальным и конечным состояниями.

Задача 3. Тепловая машина за цикл получает от нагревателя Q₁ и передаёт холодильнику Q₂. Найти работу и КПД, а затем сравнить КПД с максимально возможным для данных температур нагревателя T₁ и холодильника T₂. Количество Q₂ здесь понимается как положительная величина теплоты, отданной холодильнику. Сначала составим баланс за полный цикл.

1. За цикл ΔU = 0, поэтому из первого начала следует A = Q₁ − Q₂.
2. КПД определяем как отношение полезной работы к полученной от нагревателя теплоте: η = A/Q₁ = (Q₁ − Q₂)/Q₁.
3. Максимально возможный КПД между такими температурами задаёт предел Карно: ηmax = 1 − T₂/T₁, где температуры выражены в кельвинах.
4. Сравниваем найденное η с ηmax: результат не должен быть больше предела. Если это условие нарушено, нужно проверить баланс, единицы и то, что Q₂ взято как теплота, отданная холодильнику.

Ответ: A = Q₁ − Q₂, η = (Q₁ − Q₂)/Q₁; для реальной машины η ≤ 1 − T₂/T₁. Работа положительна, если Q₁ > Q₂. Проверка предельным КПД показывает, совместим ли ответ с температурами нагревателя и холодильника.

Типичные ошибки

Подстановка модуля работы в первое начало без учёта знака приводит к неверному Q. Так ошибаются, когда считают, что работа всегда положительна; при сжатии работа газа отрицательна. Проверьте направление изменения объёма и запишите A до подстановки чисел.

Иногда ΔU считают зависящим только от работы или только от теплоты. Это смешивает изменение состояния с одним из способов передачи энергии: у идеального газа ΔU определяется изменением температуры. Проверьте, что нашли ΔT по параметрам состояний, а затем сопоставили ΔU с первым началом.

Формулу изохорного или изобарного процесса могут применить, не проверив, что именно постоянно. Причина — выбор знакомого выражения по виду задачи, а не по условию; в результате, например, появляется работа при неизменном объёме. Перед расчётом выпишите постоянный параметр и сверьте с ним формулу.

Путаница между Q₁ и работой машины даёт неверный КПД. Q₁ — вся теплота, полученная от нагревателя, а полезная работа обычно меньше неё, потому что часть энергии уходит холодильнику. Проверьте баланс A = Q₁ − Q₂ и убедитесь, что η = A/Q₁ не превышает единицу.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны уравнение состояния идеального газа, газовые законы, формула внутренней энергии и навыки перевода единиц. Эти знания помогают связать параметры состояния с температурой, а затем использовать первое начало термодинамики. Проверка единиц особенно полезна: работа, внутренняя энергия и количество теплоты измеряются в джоулях.

Те же приёмы применяются при изучении циклов на p–V диаграммах, тепловых машин и холодильных установок. В комбинированных задачах путь часто состоит из нескольких процессов, поэтому его разбивают на этапы и рассчитывают энергию для каждого. Баланс за полный цикл позволяет связать отдельные участки и оценить эффективность устройства.

Что запомнить

• Сначала выделяют систему, начальное и конечное состояния.
• Вид процесса определяет набор применяемых формул.
• Первое начало термодинамики связывает теплоту, изменение внутренней энергии и работу.
• Работу газа считают положительной при расширении и отрицательной при сжатии.
• Для идеального газа изменение внутренней энергии определяется изменением температуры.
• КПД равен отношению полезной работы к теплоте, полученной от нагревателя.
• Ответ нужно проверить по единицам измерения, знакам и физическому смыслу.