"Физика. Молекулярная физика. Термодинамика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Решение задач по термодинамике начинается с определения состояний газа и вида процесса. Затем выбирают нужные формулы: уравнение состояния, выражение для работы и первый закон термодинамики. Главные величины связаны соотношением Q = ΔU + A, где Q — полученная теплота, ΔU — изменение внутренней энергии, A — работа газа. Особое внимание нужно уделять знакам, единицам и графику p–V.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Первый закон термодинамики связывает количество теплоты Q, изменение внутренней энергии ΔU и работу газа A: Q = ΔU + A. Здесь теплота, полученная газом, считается положительной, а работа самого газа при расширении — положительной. Закон нужен, чтобы определить неизвестную величину по двум другим.
Работа газа — энергия, которую газ передаёт внешним телам при изменении объёма; её обозначают A. При расширении ΔV > 0 и A > 0, при сжатии ΔV < 0 и A < 0. Работа показывает, какая часть энергии газа связана не с нагреванием, а с перемещением поршня.
Изменение внутренней энергии — разность внутренней энергии в конечном и начальном состояниях: ΔU = U₂ − U₁. Для идеального газа ΔU = νCᵥ(T₂ − T₁), поэтому оно определяется только изменением температуры. Эта величина позволяет отделить энергию, оставшуюся внутри газа, от энергии, затраченной на работу.
Уравнение теплового баланса выражает равенство теплоты, отданной одними телами, и теплоты, полученной другими: Qотд = Qпол. Оно справедливо для изолированной системы, если потерями энергии можно пренебречь. Такое уравнение используют, например, при смешивании горячего и холодного веществ.
Решение начинают с описания начального и конечного состояний газа, потому что большинство формул связывает именно эти состояния. Записывают известные p, V и T, а затем выбирают неизвестную величину: работу, теплоту или изменение внутренней энергии. Такая запись помогает увидеть, каких данных не хватает и какие законы можно применить.
Вид процесса определяют по условию: постоянный объём означает изохорный процесс, постоянное давление — изобарный, постоянную температуру — изотермический. Если теплообмена нет, процесс адиабатный. После этого выбирают соответствующее уравнение, поскольку одна и та же формула работы подходит не для каждого изменения состояния.
Первый закон записывают с учётом принятых знаков: Q = ΔU + A. Теплота положительна, когда газ получает энергию, а работа положительна при расширении. Затем из равенства выражают искомую величину, например ΔU = Q − A или Q = ΔU + A.
При постоянном давлении работу можно вычислить по формуле A = p(V₂ − V₁). Если давление меняется, нужно разделить процесс на простые участки или найти площадь под графиком p–V. Площадь получается как сумма произведений давления на малые изменения объёма и имеет размерность энергии.
Проверка результата помогает обнаружить ошибку ещё до ответа. Работа измеряется в джоулях, а знак должен соответствовать расширению или сжатию; изменение температуры в кельвинах должно давать физически разумное ΔU. Например, при нагревании идеального газа при неизменном объёме ΔU положительна, а при адиабатном расширении внутренняя энергия уменьшается.
| Процесс | Условие | Работа газа | Изменение внутренней энергии | Количество теплоты |
|---|---|---|---|---|
| Изохорный процесс | V = const | A = 0 | ΔU = νCᵥΔT | Q = ΔU |
| Изобарный процесс | p = const | A = pΔV | ΔU = νCᵥΔT | Q = ΔU + A |
| Изотермический процесс | T = const | A = νRT ln(V₂/V₁) | ΔU = 0 | Q = A |
| Адиабатный процесс | Q = 0 | A = −ΔU | ΔU = νCᵥΔT | Q = 0 |
| Произвольный процесс | p, V и T меняются по условию | A — площадь под графиком p–V | ΔU = νCᵥΔT | Q = ΔU + A |
Таблицу используют после определения вида процесса. Сначала находят строку по условию, затем подставляют известные величины и применяют первый закон термодинамики. Для идеального газа изменение внутренней энергии вычисляют по температурам начального и конечного состояний.
Условие: газ количеством вещества ν нагревают при постоянном объёме на ΔT. Требуется найти полученную теплоту и изменение внутренней энергии. Удельные свойства газа задаются молярной теплоёмкостью при постоянном объёме Cᵥ.
Ответ: ΔU = νCᵥΔT, Q = νCᵥΔT. Вся полученная теплота пошла на увеличение внутренней энергии.
Условие: газ расширяется при постоянном давлении p от объёма V₁ до V₂. Нужно найти работу, изменение внутренней энергии и теплоту. Начальную и конечную температуры можно определить из уравнения pV = νRT.
Ответ: A = p(V₂ − V₁), ΔU = νCᵥΔT, Q = ΔU + A. При расширении работа положительна, а при нагревании идеального газа ΔU и Q также положительны.
Условие: газ переводят из состояния 1 в состояние 2 по графику, состоящему из нескольких участков. Требуется определить суммарную работу и теплоту. Значения давления и объёма в узловых точках известны по графику.
Ответ: A равно алгебраической сумме площадей под участками графика, а Q = ΔU + A. Такой способ работает и тогда, когда давление меняется и формулу pΔV применять напрямую нельзя.
Работу внешних сил иногда подставляют в формулу как работу газа. Эти величины имеют противоположные знаки, поэтому при использовании работы внешних сил нужно заменить её на −A. Проверка проста: при расширении работа газа должна быть положительной.
Формулу A = pΔV применяют к участку с изменяющимся давлением. Она верна непосредственно только при постоянном p, а в остальных случаях работу находят по площади под графиком или суммируют работы малых участков. Проверьте, является ли линия процесса горизонтальной.
Нельзя находить ΔU только по работе или только по теплоте, забывая третье слагаемое. Первый закон требует учитывать связь Q = ΔU + A. После вычисления подставьте найденные величины обратно в это равенство.
Температуры в градусах Цельсия смешивают с температурами в кельвинах. Для разности температур численное значение одинаково, но в уравнении состояния и при работе с абсолютной температурой нужны кельвины. Проверяйте, что T = t + 273,15, если требуется абсолютная температура.
Для решения задач нужны уравнение состояния идеального газа, формула его внутренней энергии и первый закон термодинамики. Эти знания связывают параметры состояния с энергетическими превращениями. Без них невозможно последовательно определить Q, ΔU и A.
Работа по графику требует умения читать координаты p–V и вычислять площади геометрических фигур. Направление процесса задаёт знак работы, а координаты конечных точек позволяют найти температуры. Поэтому графическое представление дополняет расчётные формулы.
Методы из этого параграфа применяются при изучении тепловых машин и циклов. В цикле газ возвращается в исходное состояние, а суммарная работа связана с площадью внутри замкнутого графика. Эти расчёты нужны и при определении коэффициента полезного действия.
Как понять, какую формулу применять первой?
Сначала выпишите начальное и конечное состояния газа: давление, объём и температуру. Затем определите процесс по условию и выберите основное соотношение: уравнение состояния, формулу работы или первый закон термодинамики.
Почему при постоянном объёме работа газа равна нулю?
Работа газа определяется произведением давления на изменение объёма только при постоянном давлении, а в общем случае — площадью под графиком p–V. При постоянном объёме ΔV = 0, поэтому границы газа не перемещаются и A = 0.
Как определить знак работы газа при сжатии?
При сжатии конечный объём меньше начального: ΔV < 0. Поэтому работа газа отрицательна: газ не отдаёт энергию при расширении, а получает её от внешних сил.
Можно ли найти работу по графику процесса?
Да. В координатах p–V работа газа равна площади под линией процесса между начальным и конечным объёмами. При расширении площадь считают положительной, при сжатии знак работы отрицательный.
Почему для изменения внутренней энергии важна только разность температур?
Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, а не от того, каким путём газ пришёл в конечное состояние. Поэтому ΔU определяется разностью конечной и начальной температур: ΔU = νCᵥ(T₂ − T₁).
§ 6.9. Примеры решения задач
