§26 Сила упругости. Закон Гука

Определения и обозначения

Деформация — изменение формы или размеров тела под действием силы. Например, пружина становится длиннее, если её растянуть, и короче, если сжать. При упругой деформации тело после прекращения действия силы возвращается к исходным форме и размерам. Это понятие помогает описывать, что именно изменилось при взаимодействии тел.

Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и направленная так, чтобы вернуть его к исходным форме и размерам. Она появляется, например, когда растягивают пружину или сжимают мяч. Благодаря этой силе тело сопротивляется изменению формы. По направлению силы можно понять, куда деформированное тело будет стремиться двигаться.

Закон Гука утверждает: при малых упругих деформациях модуль силы упругости прямо пропорционален удлинению или сжатию. Формула закона: Fупр = kx, где Fупр — модуль силы, x — изменение длины. Если удлинение увеличить в несколько раз, сила тоже увеличится во столько же раз. Закон позволяет рассчитывать силу для разных деформаций пружины.

Жёсткость пружины — коэффициент k в законе Гука, который показывает, насколько пружина сопротивляется деформации. Чем больше k, тем большую силу нужно приложить для того же изменения длины. Единица жёсткости в СИ — ньютон на метр, Н/м. Значение k помогает сравнивать пружины и находить силу упругости.

Как это устроено

Когда тела взаимодействуют, они могут менять форму или размеры: пружина растягивается, мяч сжимается, а резиновый жгут удлиняется. Причина деформации — действие силы, приложенной к телу. Если силу убрать, упругое тело стремится восстановиться, потому что части тела сместились относительно друг друга и взаимодействуют между собой. Поэтому изменение формы часто сопровождается возникновением силы, направленной на возвращение к прежнему состоянию.

Деформированное тело действует на те тела, с которыми соприкасается, именно потому, что стремится восстановить свою форму. Например, растянутая пружина тянет прикреплённые к ней предметы к себе. Сила упругости направлена противоположно деформации: при растяжении она стремится укоротить пружину, а при сжатии — удлинить её. Так тело противодействует изменению своей формы, а не поддерживает его.

Рассмотрим пружину, которую растягивают небольшими грузами. Если удлинение увеличить в два раза, то в пределах упругой деформации модуль силы упругости также станет в два раза больше. При увеличении удлинения втрое сила возрастёт втрое. Эта пропорциональность и выражается законом Гука, но она верна не при любом растяжении. Удлинение здесь означает разницу между новой и исходной длиной пружины.

Коэффициент k в формуле показывает, насколько сильно пружина сопротивляется изменению длины. Если две пружины растянуть на одинаковое расстояние, более жёсткая создаст большую силу упругости. Поэтому для неё значение k выше. Зная жёсткость и удлинение, можно по формуле Fупр = kx рассчитать модуль силы.

Закон Гука применяют только для упругих деформаций, пока сила и изменение длины пропорциональны. Если растянуть пружину слишком сильно, она может не вернуться к прежней длине, а зависимость силы от удлинения перестанет быть прямой пропорциональностью. Поэтому перед расчётом нужно убедиться, что рассматривается обычная, не чрезмерная деформация. Для измерений также важно пользоваться согласованными единицами: x — в метрах, k — в Н/м.

Величины в законе Гука

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите, какие величины известны и какую требуется найти. В формулу Fупр = kx подставляют удлинение или сжатие именно в метрах. Если величины записаны в других единицах, перед расчётом приведите их к единицам СИ.

Разбор задач

Пружина растянута на 3 см. Нужно определить направление силы упругости относительно направления растяжения. Здесь не требуется вычислять модуль силы: достаточно вспомнить, что сила упругости противодействует деформации. Значит, она направлена не туда, куда растягивают пружину, а в противоположную сторону.

1. Определяем вид деформации: пружину растянули.
2. Вспоминаем свойство силы упругости: она стремится вернуть тело к исходной длине.
3. Указываем направление: оно противоположно растяжению.

Ответ: сила упругости направлена противоположно направлению растяжения пружины.

Жёсткость пружины равна 200 Н/м, удлинение — 5 см. Найдём модуль силы упругости. В формуле Fупр = kx жёсткость дана в Н/м, поэтому сантиметры сначала нужно перевести в метры. После этого можно перемножить известные величины.

1. Записываем закон Гука: Fупр = kx.
2. Переводим удлинение: 5 см = 0,05 м.
3. Подставляем значения: Fупр = 200 Н/м · 0,05 м = 10 Н.

Ответ: модуль силы упругости равен 10 Н. Метры в единицах x сокращаются с метрами в знаменателе Н/м, поэтому результат измеряется в ньютонах. Это проверка правильности единиц.

При удлинении на 2 см сила упругости равна 4 Н. Сначала требуется найти жёсткость, а затем определить силу при удлинении 5 см. Обе длины нужно выразить в метрах, поскольку k получится в Н/м. Считаем, что обе деформации упругие и закон Гука применим.

1. Выражаем жёсткость из закона Гука: k = Fупр / x.
2. Переводим первое удлинение: 2 см = 0,02 м; вычисляем k = 4 Н / 0,02 м = 200 Н/м.
3. Переводим второе удлинение: 5 см = 0,05 м; находим силу: Fупр = 200 Н/м · 0,05 м = 10 Н.

Ответ: жёсткость пружины равна 200 Н/м, сила при удлинении 5 см — 10 Н. Проверка пропорции даёт тот же результат: удлинение выросло в 2,5 раза, значит, и сила выросла с 4 Н до 10 Н. Единицы в обоих вычислениях согласованы.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что сила упругости направлена туда же, куда растягивают пружину. Так думают, потому что смешивают направление приложенной силы и ответного действия пружины. Проверьте себя: сила упругости должна стремиться уменьшить растяжение или сжатие. Поэтому её направление противоположно деформации.

Ошибка: подставлять сантиметры в формулу при жёсткости в Н/м. Это происходит, когда забывают, что единицы величин должны быть согласованы. Перед вычислением переведите сантиметры в метры: например, 5 см = 0,05 м. Проверьте ответ по единицам: произведение Н/м на м должно дать ньютоны.

Ошибка: принимать полную длину пружины за её удлинение. Удлинение — это изменение длины относительно исходной, а не расстояние между концами уже растянутой пружины. Чтобы найти его, вычтите исходную длину из новой. Проверьте, что при отсутствии деформации x равен нулю.

Ошибка: применять закон Гука при любой, даже очень большой деформации. Закон используют, пока деформация упругая и сила остаётся пропорциональна изменению длины. Если пружина после снятия нагрузки не возвращается к прежней длине, условие упругости нарушено. Проверьте, допускает ли ситуация применение закона до подстановки чисел.

Связь с другими темами

Для изучения силы упругости нужно знать, что такое сила, как её изображают стрелкой и в каких единицах измеряют. Эти знания помогают различать модуль силы и её направление. Закон Гука связывает силу с величиной деформации. Поэтому он продолжает изучение взаимодействия тел.

На законе Гука основана работа пружин в динамометрах — приборах для измерения силы. Когда сила растягивает пружину, её удлинение связано с силой, и шкалу прибора можно проградуировать. Так формула превращается в способ измерять силу на практике. Пружины используют и в других приборах.

Закон Гука пригодится при изучении механических колебаний: например, движения груза на пружине. Он также помогает описывать свойства деформируемых тел. Понимание того, как тело возвращается к исходной форме, объясняет возникновение колебаний. Это связывает деформацию с движением.

Что запомнить

• Деформация — изменение формы или размеров тела.
• При упругой деформации тело после прекращения действия силы возвращается к исходному состоянию.
• Сила упругости возникает при деформации.
• Сила упругости направлена противоположно деформации.
• В пределах применимости закона Гука Fупр = kx.
• Удлинение x измеряют в метрах, а жёсткость k — в Н/м.