§ 18. Импульс тела. Закон сохранения импульса

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Здесь p обозначает импульс, m — массу, а v — скорость тела. В системе СИ импульс измеряют в килограмм-метрах в секунду (кг·м/с). Эта величина нужна, чтобы описывать движение с учётом сразу двух характеристик тела.

Направление импульса совпадает с направлением вектора скорости. Поэтому импульс нельзя полностью задать одним числом: необходимо указать, куда движется тело. При расчётах на прямой удобно выбрать положительное направление оси, а движение в обратную сторону учитывать знаком «минус».

Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел, входящих в выбранную систему. Для двух тел её записывают так: pсист = p₁ + p₂. Система — это тела, которые мы рассматриваем вместе; её границы выбирают в зависимости от задачи. Такая сумма позволяет проследить, как изменяется движение всей системы при взаимодействии.

Замкнутая система тел — система, на которую не действуют внешние силы или действие этих сил скомпенсировано. Внутренними называют силы взаимодействия тел друг с другом, а внешними — силы со стороны объектов вне системы. Условие замкнутости важно, потому что именно внешнее воздействие способно изменить полный импульс системы.

Закон сохранения импульса утверждает: полный импульс замкнутой системы не изменяется при взаимодействии её тел. Иными словами, векторная сумма импульсов до взаимодействия равна такой же сумме после него. Закон относится ко всей выбранной системе, а не обязательно к каждому телу отдельно.

Как это устроено

Скорость сама по себе не показывает, насколько трудно изменить движение тела: одинаковая скорость может быть у лёгкого мяча и тяжёлого автомобиля. Одна только масса тоже не описывает движение, ведь покоящееся тело и быстро движущееся тело одинаковой массы ведут себя по-разному. Величина p = mv учитывает оба свойства сразу. При одинаковой скорости больше импульс у тела большей массы, а при одной массе — у тела с большей скоростью.

Чтобы найти импульс, умножают массу на модуль скорости, а затем указывают направление, совпадающее с направлением движения. Например, для движения вдоль прямой можно выбрать ось вправо и считать это направление положительным. Тогда движущемуся вправо телу соответствует положительная проекция pₓ = mvₓ, а движущемуся влево — отрицательная. Так знаки помогают складывать импульсы, не теряя направления.

При взаимодействии тела обмениваются движением: например, после столкновения каждое может изменить скорость и направление. Поэтому импульс отдельного тела обычно не остаётся прежним. Но если рассматривать все взаимодействующие тела вместе и система замкнута, их изменения учитываются одновременно. Убыль импульса одного тела компенсируется приростом импульса другого, поэтому общая сумма сохраняется.

Причина взаимной компенсации связана с третьим законом Ньютона. Во время взаимодействия тела действуют друг на друга силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Эти силы действуют одинаковое время, поэтому изменения импульсов тел также равны по модулю и противоположны. Складывая изменения, получаем ноль: общий импульс системы не меняется, если внешнее воздействие отсутствует.

При решении задач сначала определяют, какие тела составляют систему, и проверяют, можно ли считать её замкнутой на время взаимодействия. Затем выбирают ось и задают положительное направление; для движений в противоположные стороны проекции будут иметь разные знаки. После этого приравнивают сумму проекций импульсов до взаимодействия сумме проекций после него. Такой способ подходит и для столкновения, и для разлёта тел, но направление каждой скорости нужно учитывать отдельно.

Импульс тела и закон сохранения импульса

Сначала найдите в таблице нужное понятие, затем проверьте его формулу и условия применения. В задачах с несколькими телами отдельно учитывайте направление каждого импульса. Равенство pдо = pпосле относится к полному импульсу системы.

Разбор задач

Задача 1. Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Найдите его импульс и укажите направление.

1. Запишем связь импульса с массой и скоростью: p = mv. Направление движения тела обозначим как направление скорости. Импульс будет направлен туда же.
2. Подставим данные: p = 2 кг · 3 м/с = 6 кг·м/с. Значение положительное, если за положительное выбрано направление движения. Полученное число — модуль импульса.

Ответ: 6 кг·м/с, в направлении движения тела.

Задача 2. Два тела движутся навстречу друг другу: m₁ = 2 кг, v₁ = 3 м/с; m₂ = 1 кг, v₂ = 2 м/с. Найдите полный импульс системы, выбрав направление движения первого тела за положительное.

1. Выбранная ось направлена по движению первого тела, поэтому его скорость положительна: v₁ = +3 м/с. Второе тело движется противоположно, значит v₂ = −2 м/с. Так мы учитываем, что импульсы направлены в разные стороны.
2. Найдём проекции импульсов: p₁ = m₁v₁ = 2 · 3 = 6 кг·м/с, p₂ = m₂v₂ = 1 · (−2) = −2 кг·м/с. Сложим проекции: pсист = 6 + (−2) = 4 кг·м/с. Положительный знак показывает, что полный импульс направлен по движению первого тела.

Ответ: 4 кг·м/с по направлению движения первого тела.

Задача 3. Два тела массами 2 кг и 3 кг покоятся на гладкой поверхности. После взаимодействия первое тело движется со скоростью 3 м/с. Найдите скорость второго тела.

1. Выберем оба тела системой и направим ось по движению первого после взаимодействия. До взаимодействия оба тела покоились, поэтому начальный полный импульс равен нулю. Гладкая поверхность позволяет пренебречь горизонтальным внешним воздействием.
2. По закону сохранения импульса после взаимодействия тоже должно быть p₁ + p₂ = 0. Тогда 2 кг · 3 м/с + 3 кг · v₂ = 0, откуда v₂ = −6/3 = −2 м/с. Минус означает, что второе тело движется против выбранного направления.

Ответ: скорость второго тела равна 2 м/с, направлена противоположно скорости первого тела.

Типичные ошибки

Ошибка: считать импульс скаляром и указывать только число. Её допускают, потому что в формуле p = mv перемножаются обычные числовые значения, но скорость при этом остаётся вектором. Проверьте себя: сможете ли вы указать, куда направлен найденный импульс? Если нет, ответ неполный.

Ошибка: складывать модули импульсов тел, движущихся навстречу друг другу. Так делают, забывая, что направления противоположны. Выберите ось и запишите проекции со знаками: встречным движениям соответствуют разные знаки, поэтому их импульсы могут частично компенсироваться.

Ошибка: применять закон сохранения импульса к одному телу или к системе, на которую действует нескомпенсированная внешняя сила. Закон относится к полной системе, а внешнее воздействие способно изменить её импульс. Перед расчётом перечислите тела системы и проверьте, можно ли пренебречь внешними силами во время взаимодействия.

Ошибка: считать, что при столкновении импульс каждого тела сохраняется. Скорости тел меняются, поэтому меняются и их импульсы; неизменной остаётся сумма импульсов замкнутой системы. Для самопроверки сравните начальную и конечную сумму, а не импульс одного выбранного тела.

Связь с другими темами

Для изучения импульса понадобятся масса и скорость, а также умение работать с векторами и их проекциями. Особенно полезен третий закон Ньютона: он объясняет, почему изменения импульсов взаимодействующих тел компенсируются. Перед решением задач повторите, как выбирать ось и складывать величины с учётом направлений.

Закон сохранения импульса применяют при анализе столкновений и разлёта тел. Он также помогает объяснить реактивное движение: например, движение ракеты связано с выбросом газов в противоположном направлении. Позже этот закон можно сопоставить с другими законами сохранения в механике.

Что запомнить

• Импульс тела: p = mv.
• Единица импульса — кг·м/с.
• Импульс направлен так же, как скорость тела.
• Импульс системы равен векторной сумме импульсов входящих в неё тел.
• В замкнутой системе полный импульс сохраняется.
• При взаимодействии изменяются импульсы отдельных тел, но их сумма остаётся постоянной.