§ 5. Ускорение. Равноускоренное прямолинейное движение

Определения и обозначения

Ускорение — векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости к промежутку времени; его обозначают a, а единица измерения в СИ — м/с². Иначе говоря, ускорение показывает, насколько быстро меняется скорость. Оно нужно, чтобы описывать не только движение тела, но и происходящий разгон или торможение.

Проекция ускорения aₓ — алгебраическая величина, которая показывает направление ускорения относительно выбранной оси. При прямолинейном движении aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t, где v₀ₓ и vₓ — начальная и конечная проекции скорости. Проекции удобны для расчётов: с ними можно учитывать направление движения с помощью знаков.

Равноускоренное прямолинейное движение — движение по прямой с постоянным ускорением. За равные промежутки времени скорость при этом изменяется одинаково. Это понятие помогает описать движение одной простой закономерностью и предсказать скорость тела в выбранный момент.

Начальная скорость — скорость тела в начале рассматриваемого промежутка времени; её обозначают v₀. Если движение описывают вдоль оси, используют начальную проекцию v₀ₓ. Она нужна как исходное значение, от которого отсчитывают изменение скорости.

Как это устроено

Чтобы узнать, как быстро меняется скорость, сравнивают её изменение с временем, за которое оно произошло. Если за короткое время скорость изменилась сильно, ускорение велико; если то же изменение заняло больше времени, ускорение меньше. Поэтому делят изменение скорости на промежуток времени, а не саму скорость на время. Для движения вдоль оси это записывается как aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t.

Направление ускорения связано с тем, куда меняется вектор скорости. Изменение скорости — это разность конечной и начальной скоростей, поэтому оно учитывает не только величину, но и направление движения. Ускорение направлено так же, как это изменение. В задачах часто выбирают ось и рассматривают проекции: тогда знак aₓ показывает, направлено ускорение вдоль положительного направления оси или против него.

При постоянном ускорении за каждую секунду скорость изменяется на одно и то же значение. Поэтому её изменение за время t равно aₓt, а итоговая проекция скорости получается прибавлением этого изменения к начальной: vₓ = v₀ₓ + aₓt. Формула подходит и для положительного, и для отрицательного ускорения, если проекции записаны с учётом выбранной оси. Подставляя время, можно найти скорость в любой момент рассматриваемого движения.

Отрицательный знак ускорения ещё не означает, что тело замедляется. Например, если скорость и ускорение имеют одинаковый знак, модуль скорости растёт, хотя оба значения могут быть отрицательными. Если знаки противоположны, модуль скорости уменьшается. Значит, при выводе о разгоне или торможении нужно сопоставлять направления скорости и ускорения, а не оценивать только знак aₓ.

При равноускоренном движении проекция скорости линейно зависит от времени, поэтому график vₓ(t) — прямая. Её наклон показывает, насколько меняется скорость за единицу времени, то есть равен aₓ. Точка пересечения прямой с вертикальной осью соответствует t = 0 и задаёт начальную проекцию скорости. Например, на графике ниже vₓ = 2 + 1,5t: начальная скорость равна 2 м/с, а ускорение — 1,5 м/с².

Величины и соотношения при равноускоренном прямолинейном движении

Сначала определите, какую величину требуется найти, и выберите строку с подходящим соотношением. Перед подстановкой задайте направление оси и запишите проекции скоростей со знаками. После вычислений проверьте единицы: для скорости это м/с, для ускорения — м/с².

Разбор задач

Задача 1

Скорость автомобиля увеличилась с 4 м/с до 10 м/с за 3 с. Движение происходит вдоль положительного направления оси. Нужно найти проекцию ускорения. Поскольку скорость направлена вдоль положительной оси, обе её проекции положительны.

1. Запишем данные: v₀ₓ = 4 м/с, vₓ = 10 м/с, t = 3 с. Искомую величину обозначим aₓ.
2. Используем отношение изменения проекции скорости ко времени: aₓ = (vₓ − v₀ₓ)/t. Вычитаем начальную скорость, потому что ускорение определяется именно изменением скорости.
3. Подставляем числа: aₓ = (10 − 4)/3 = 2 м/с². Результат положителен, что соответствует увеличению скорости вдоль положительной оси.

Ответ: aₓ = 2 м/с².

Задача 2

Тело движется прямолинейно с начальной скоростью 6 м/с и ускорением −2 м/с². Найдём скорость через 2 с и выясним, меняется ли модуль скорости. Предполагаем, что начальная скорость направлена вдоль положительной оси, поэтому v₀ₓ = 6 м/с.

1. Записываем данные: v₀ₓ = 6 м/с, aₓ = −2 м/с², t = 2 с. Знак минус у ускорения означает, что оно направлено против положительного направления оси.
2. Применяем формулу vₓ = v₀ₓ + aₓt. Получаем vₓ = 6 + (−2) · 2 = 2 м/с.
3. Скорость осталась положительной, но стала меньше: сначала модуль был 6 м/с, через 2 с он равен 2 м/с. Скорость и ускорение направлены противоположно, поэтому модуль скорости уменьшается.

Ответ: vₓ = 2 м/с; модуль скорости уменьшается.

Задача 3

По графику проекции скорости за 4 с она изменилась с −2 м/с до 6 м/с. Требуется найти ускорение и записать закон изменения скорости. Отрицательное начальное значение показывает, что в начале тело двигалось против положительного направления оси.

1. Берём начальную и конечную точки: t₁ = 0 с, vₓ₁ = −2 м/с; t₂ = 4 с, vₓ₂ = 6 м/с. Изменение времени равно 4 с, а изменение проекции скорости — 6 − (−2) = 8 м/с.
2. Наклон прямой, а значит и проекция ускорения, равен отношению этих изменений: aₓ = (6 − (−2))/(4 − 0) = 2 м/с². Положительный результат означает, что проекция скорости растёт.
3. Подставляем ускорение и начальную скорость в закон vₓ = v₀ₓ + aₓt. Получаем vₓ(t) = −2 + 2t, где время выражено в секундах, а скорость — в м/с.

Ответ: aₓ = 2 м/с²; vₓ(t) = −2 + 2t.

Типичные ошибки

Первая ошибка — делить скорость на время вместо того, чтобы делить её изменение на время. Так забывают начальное значение и могут получить неверный результат даже при правильных единицах. Перед вычислением запишите разность vₓ − v₀ₓ и проверьте, что в числителе стоит именно изменение скорости.

Отрицательное ускорение часто автоматически считают признаком торможения, потому что путают знак проекции с изменением модуля скорости. Но знак задаётся выбранной осью, а модуль скорости уменьшается только при противоположных направлениях скорости и ускорения. Для проверки сравните знаки проекций и выясните, растёт ли модуль скорости.

Если вместо проекций подставить модули скоростей, можно потерять информацию о направлении и получить неправильный знак ускорения. Такая ошибка особенно вероятна, когда тело движется против выбранной оси. Проверьте сначала направление оси, затем поставьте знаки у vₓ и v₀ₓ и только после этого вычисляйте разность.

Постоянное ускорение не означает, что скорость постоянна: при постоянном aₓ она меняется на одинаковую величину за равные промежутки времени. Путаница возникает из-за того, что слово «постоянное» относят не к той величине. Подставьте разные значения времени в vₓ = v₀ₓ + aₓt: при ненулевом ускорении проекция скорости будет разной.

Связь с другими темами

Для задач на ускорение нужно уметь находить скорость и её изменение, различать вектор и его проекцию, а также выбирать направление координатной оси. Если эти действия освоены, знаки проекций помогают описывать движение независимо от того, куда направлено тело. Навык работы с графиком скорости от времени позволяет находить ускорение по наклону прямой.

Понятие ускорения понадобится при изучении свободного падения и движения тел под действием сил. Связь между ускорением и действующими силами рассматривают в законах Ньютона. Поэтому умение определять ускорение и учитывать его направление станет основой для решения более сложных задач механики.

Что запомнить

• Ускорение характеризует изменение скорости за единицу времени.
• Единица ускорения в СИ — м/с².
• При равноускоренном прямолинейном движении ускорение постоянно.
• Проекция скорости определяется формулой vₓ = v₀ₓ + aₓt.
• Знак проекции ускорения зависит от выбранного направления оси.
• На графике vₓ(t) ускорение соответствует наклону прямой.