§ 10. Системы счисления

Определения и обозначения

Система счисления — способ записи чисел с помощью определённого набора символов и правил. Она объясняет, как из отдельных знаков получить запись числа и как понять её значение. Без такого набора правил одна и та же последовательность символов могла бы читаться по-разному.

Алфавит системы счисления — набор символов, используемых для записи чисел. В позиционной системе количество символов алфавита совпадает с основанием: например, при основании 8 нужны восемь цифр. Это позволяет обозначить все значения от нуля до наибольшей цифры данного алфавита.

Основание системы счисления — количество различных цифр в позиционной системе. При основании b допустимы цифры от 0 до b − 1, потому что всего таких целых значений ровно b. Основание определяет, какие знаки можно использовать и какие степени будут иметь разряды.

Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры зависит от её места в записи числа. Одна и та же цифра может обозначать единицы, десятки или более крупные величины. Поэтому при чтении числа нужно учитывать не только цифры, но и их разряды.

Как это устроено

В позиционной системе значение знака меняется при перемещении по записи: цифра слева обозначает больший разряд, чем такая же цифра справа. Например, в числе 55₁₀ одна пятёрка означает пять десятков, а другая — пять единиц. В непозиционной системе значение знака задаётся специальными правилами и обычно не определяется его местом так однозначно.

Основание прямо задаёт набор цифр. В системе с основанием 8 используют 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, а цифра 8 там недопустима. Если требуется записать следующее после 7 значение, выполняется перенос в следующий разряд, подобно тому как после 9 в десятичной системе появляется новый разряд.

Каждый разряд позиционной записи связан со степенью основания. Справа находится разряд b⁰, левее — b¹, затем b² и так далее; поэтому число получают сложением произведений цифр на соответствующие степени. Например, 325₈ = 3 · 8² + 2 · 8¹ + 5 · 8⁰. Такой разбор показывает, откуда берётся значение всей записи.

Десятичная система основана на степенях 10, потому что в ней десять цифр: от 0 до 9. Двоичная система использует только 0 и 1, поэтому её разряды соответствуют степеням 2. Так, 1011₂ = 1 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 11₁₀; запись и значение связаны именно разрядным разложением.

Чтобы перевести целое десятичное число в систему с основанием b, его делят на b. Остаток первого деления становится цифрой младшего разряда, потому что описывает единицы новой системы; следующий остаток относится к следующему разряду. Деление продолжают до нулевого частного, а найденные остатки читают в обратном порядке — от последнего к первому.

Сравнение позиционной и непозиционной систем счисления

Таблица помогает увидеть главное различие между двумя видами систем. При анализе записи сначала определите, меняется ли значение знака из-за его места, а затем проверьте, какими правилами вычисляется всё число.

Разбор задач

Перевести число 25₁₀ в двоичную систему

Нужно получить цифры, допустимые при основании 2, и определить их порядок. Для этого используем последовательные деления с остатком.

1. 25 : 2 = 12, остаток 1.
2. 12 : 2 = 6, остаток 0.
3. 6 : 2 = 3, остаток 0.
4. 3 : 2 = 1, остаток 1.
5. 1 : 2 = 0, остаток 1; деление заканчивается.
6. Читаем остатки снизу вверх: 11001.

Ответ: 25₁₀ = 11001₂.

Перевести число 101101₂ в десятичную систему

Здесь известна двоичная запись, поэтому раскладываем её по степеням 2. Нумерацию степеней начинаем справа с нуля.

1. Записываем разряды: 1 · 2⁵ + 0 · 2⁴ + 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰.
2. Вычисляем ненулевые слагаемые: 32 + 8 + 4 + 1.
3. Складываем их и получаем 45.

Ответ: 101101₂ = 45₁₀.

Перевести 3A₁₆ в десятичную систему, а затем в двоичную

В шестнадцатеричной системе буква A обозначает цифру 10. Сначала найдём десятичное значение разрядного разложения, затем применим деление на 2.

1. 3A₁₆ = 3 · 16¹ + 10 · 16⁰ = 48 + 10 = 58₁₀.
2. 58 : 2 = 29, остаток 0; 29 : 2 = 14, остаток 1.
3. 14 : 2 = 7, остаток 0; 7 : 2 = 3, остаток 1.
4. 3 : 2 = 1, остаток 1; 1 : 2 = 0, остаток 1.
5. Читаем остатки снизу вверх: 111010₂.

Ответ: 3A₁₆ = 58₁₀ = 111010₂.

Типичные ошибки

Недопустимая цифра. Запись 8 в восьмеричной системе ошибочна, потому что её цифры заканчиваются на 7. Так происходит при механическом переносе привычных десятичных цифр; проверьте каждую цифру: она должна быть меньше основания.

Неверные степени разрядов. Иногда считают правый разряд степенью 1, хотя он соответствует b⁰. Ошибка меняет всё разложение; подпишите степени справа налево: 0, 1, 2 и далее.

Остатки читают в прямом порядке. Первый остаток относится к младшему разряду, поэтому он должен оказаться справа. Для самопроверки прочитайте результат обратно через разложения или повторным делением.

Запись принимают за значение. Число 10 не всегда означает десять: в системе с основанием b оно равно b. Всегда указывайте основание нижним индексом или уточняйте его словами.

Связь с другими темами

Для работы с системами счисления нужны знания о натуральных числах, разрядах десятичной записи и степенях числа. Эти умения позволяют понимать, почему разряды связаны с последовательными степенями основания.

Перевод чисел между системами важен при изучении представления данных в компьютере. Двоичная система используется для хранения информации, а перевод в другие системы делает запись больших двоичных чисел более компактной и удобной для человека.

Что запомнить

• Основание позиционной системы равно числу цифр в её алфавите.
• В системе с основанием b допустимы цифры от 0 до b − 1.
• Значение цифры в позиционной записи зависит от её разряда.
• Разрядное разложение использует степени основания системы.
• При переводе из десятичной системы делением остатки читают в обратном порядке.
• Одинаковая запись числа в разных системах может обозначать разные значения.