Масштаб

Определения и обозначения

Масштаб — отношение длины на плане или карте к соответствующей действительной длине, причём обе длины сравнивают в одинаковых единицах. Иными словами, он показывает, как соотносится изображение с тем, что существует на самом деле. Это понятие нужно, чтобы понимать, насколько изображение уменьшено.

Численный масштаб — запись отношения в виде 1:n. Она показывает, что одной единице длины на плане соответствуют n таких же единиц в действительности. Например, в масштабе 1:100 за каждой единицей на плане стоят сто таких же единиц в реальности.

Расстояние на плане — длина отрезка, который изображает предмет или расстояние между объектами. Его можно измерить линейкой на бумаге или экране, если изображение дано в подходящем размере. Эта длина нужна, чтобы по масштабу узнать настоящую.

Действительное расстояние — реальная длина предмета или расстояние между объектами, показанными на плане либо карте. Оно может быть намного больше отрезка на изображении. Его находят по длине на плане и масштабу либо используют, чтобы определить длину изображения.

Как это устроено

План или карта должны поместиться на листе, хотя изображаемые предметы и расстояния могут быть большими. Поэтому их уменьшают, но не произвольно: все длины уменьшаются в одинаковое число раз. Так сохраняются соотношения размеров, и изображение остаётся понятным. Масштаб сообщает, во сколько раз изображение меньше действительности.

В записи 1:n число 1 относится к длине на плане, а n — к соответствующей длине в действительности. Запись говорит о равных единицах: например, 1 см на карте соответствует n сантиметрам на местности. Нельзя считать, что 1 обозначает сантиметр, а n — километр, если это не оговорено переводом. Поэтому перед вычислениями длины приводят к одинаковым единицам.

Чтобы найти действительное расстояние, длину на плане умножают на n. Это следует из масштаба: каждая единица на изображении заменяет n таких же единиц в реальности. Например, если отрезок на плане составляет 3 см, то при масштабе 1:100 реальная длина равна 3 × 100 сантиметров. Затем результат можно перевести в метры или другие удобные единицы.

Чтобы найти расстояние на плане, действительную длину делят на n. Так мы узнаём, сколько раз по n единиц помещается в настоящем расстоянии, то есть какой длины должен быть изображающий отрезок. Если результат нужен для измерения линейкой, его удобно получить в сантиметрах. Для этого действительное расстояние сначала переводят в единицы, согласованные с масштабом.

Если известны обе длины, по ним можно составить масштаб. Сначала действительное расстояние и отрезок на плане переводят в одну и ту же единицу, иначе их нельзя правильно сравнить. Затем записывают отношение длины на плане к действительной длине и сокращают его. Когда первая часть отношения становится равной 1, получают численный масштаб вида 1:n.

Как находить расстояния по численному масштабу

Сначала найди в таблице строку с тем, что дано в задаче. Затем выполни указанное действие и проверь единицы измерения результата. Если нужно составить масштаб, не забудь привести обе длины к одинаковым единицам до сокращения отношения.

Разбор задач

Задача 1. Масштаб плана 1:100. Найди действительную длину отрезка, если на плане она равна 3 см. Требуется узнать настоящую длину, поэтому используем умножение на 100. Оставим результат сначала в сантиметрах, чтобы единицы соответствовали записи масштаба.

1. Записываем данные: на плане 3 см, масштаб 1:100.
2. Находим действительную длину: 3 × 100 = 300 см.
3. Переводим сантиметры в метры: 300 см = 3 м.

Ответ: действительная длина равна 300 см, или 3 м. Проверим смысл результата: план уменьшен в 100 раз, поэтому настоящая длина должна быть больше изображённой. 3 м больше 3 см, значит результат правдоподобен.

Задача 2. Масштаб карты 1:200 000. Какому действительному расстоянию соответствуют 4 см на карте? Ответ дай в километрах. По масштабу каждый сантиметр на карте соответствует 200 000 сантиметров на местности. Сначала найдём расстояние в сантиметрах, а затем переведём его в километры.

1. Находим расстояние в действительности: 4 × 200 000 = 800 000 см.
2. Переводим сантиметры в метры: 800 000 см = 8 000 м.
3. Переводим метры в километры: 8 000 м = 8 км.

Ответ: 4 см на карте соответствуют 8 км в действительности. В вычислении использовали сантиметры, потому что в записи масштаба обе сравниваемые длины должны быть в одинаковых единицах. В конце перевели ответ в километры, как требуется в условии.

Задача 3. Расстояние между двумя пунктами составляет 6 км, а на карте оно изображено отрезком 3 см. Определи численный масштаб карты. Чтобы составить отношение, сначала переведём действительное расстояние в сантиметры, ведь длина на карте дана в сантиметрах. Затем сравним 3 см с настоящей длиной и сократим отношение до вида 1:n.

1. Переводим километры в сантиметры: 6 км = 600 000 см.
2. Записываем отношение расстояния на карте к действительному: 3:600 000.
3. Делим обе части отношения на 3: получаем 1:200 000.

Ответ: численный масштаб карты — 1:200 000. Это означает, что одному сантиметру на карте соответствуют 200 000 сантиметров в действительности. Для проверки можно умножить 3 см на 200 000 и получить 600 000 см, то есть 6 км.

Типичные ошибки

Одна ошибка — умножать на n, когда нужно найти расстояние на плане, или делить на n, когда нужно найти действительное расстояние. Её допускают, если не разобрались, что именно спрашивают. Перед вычислением назови искомую величину: настоящая длина находится умножением, длина изображения — делением. Проверка по смыслу тоже помогает: план обычно короче действительности.

Нельзя сравнивать сантиметры с километрами без перевода в одинаковые единицы. Из-за этого отношение получается неверным, хотя сами числа могут выглядеть аккуратно. Перед записью масштаба проверь единицы каждой длины и переведи одну из них. После перевода обе величины должны быть, например, в сантиметрах.

В записи 1:n иногда путают, к чему относятся числа 1 и n. Число 1 относится к длине на плане или карте, а n — к соответствующей длине в действительности. Чтобы проверить себя, прочитай масштаб словами: «одна единица на карте соответствует n таким же единицам на местности». Если получилось наоборот, отношение записано неверно.

Ещё одна ошибка — не перевести вычисленный результат в требуемые единицы или назвать единицу неправильно. Например, ответ в сантиметрах могут принять за километры, не выполнив перевод. После вычислений проверь, в каких единицах получился результат и в каких его просят дать. Запиши число вместе с подходящим названием единицы.

Связь с другими темами

Для работы с масштабом пригодятся измерение отрезков линейкой, умножение и деление натуральных чисел. Эти действия помогают точно снять длину с плана и выполнить вычисления по записи 1:n. Нужно также знать соотношения единиц длины и уметь переводить сантиметры, метры и километры друг в друга. Масштаб используют при чтении карт и планов, а также при построении чертежей и планов помещений.

Что запомнить

• Масштаб показывает, во сколько раз изображение уменьшено по сравнению с действительностью.
• В записи 1:n единицы длины на плане и в действительности должны быть одинаковыми.
• Действительное расстояние находят умножением длины на плане на n.
• Расстояние на плане находят делением действительного расстояния на n.
• Перед вычислениями проверь, что сравниваемые длины выражены в одинаковых единицах.
• В ответе указывай подходящую единицу длины.