Треугольники

Определения и обозначения

Треугольник — многоугольник, образованный тремя точками-вершинами и тремя соединяющими их отрезками. Его обозначают тремя заглавными латинскими буквами, например △ABC, называя вершины по порядку. Такая запись позволяет понять, о какой фигуре говорится, и отличить её от других треугольников. Буквы вершин также помогают указывать стороны и углы.

Вершина треугольника — общая точка двух его сторон. Каждую вершину обозначают одной заглавной латинской буквой: A, B или C. Например, в треугольнике ABC буква B указывает на одну определённую точку. Это нужно, чтобы точно называть места соединения сторон и углы при них.

Сторона треугольника — отрезок между двумя его вершинами. Её обозначают двумя буквами концов: AB, BC или CA; например, AB соединяет вершины A и B. Запись стороны помогает отличить её от угла или вершины. Поскольку у треугольника три вершины, таких отрезков тоже три.

Периметр треугольника — сумма длин всех его сторон. Если стороны имеют длины a, b и c, правило записывают так: P = a + b + c. Периметр показывает общую длину границы фигуры. Он нужен, например, чтобы узнать, сколько материала потребуется для её обрамления.

Как это устроено

Три стороны треугольника соединяют три вершины попарно: каждую пару точек связывает один отрезок. Поэтому у фигуры ровно три стороны, а в каждой вершине сходятся две из них. Стороны образуют углы, и у каждой вершины получается один угол. Значит, число вершин, сторон и углов совпадает и равно трём.

По равенству сторон треугольники делят на разносторонние, равнобедренные и равносторонние. Если длины всех сторон различны, треугольник разносторонний; если хотя бы две стороны равны, он равнобедренный. Когда равны все три стороны, треугольник равносторонний. Такая классификация показывает, насколько стороны похожи по длине.

Классификация по углам зависит от того, есть ли среди трёх углов прямой или тупой. Если все углы острые, треугольник остроугольный; если один угол прямой, он прямоугольный; если один угол тупой — тупоугольный. В треугольнике не может быть двух прямых или двух тупых углов: сумма углов равна 180°, а два таких угла уже дали бы не меньше 180°. Поэтому вид по углам определяется одним из этих признаков.

Классификации по сторонам и углам отвечают на разные вопросы: первая сравнивает длины, вторая — величины углов. Поэтому один треугольник можно описать сразу по обоим признакам. Например, он может быть равнобедренным по сторонам и прямоугольным по углам. При определении вида нужно рассматривать нужный признак, а не выбирать только одну общую категорию.

Периметр находят сложением длин сторон: P = a + b + c. Но перед вычислением полезно проверить, могут ли данные отрезки замкнуть треугольник. Для этого сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей. Если условие не выполняется, отрезки не образуют треугольник, и называть их сумму его периметром нельзя.

Виды треугольников

Сначала выберите признак, по которому нужно определить вид: равенство сторон или величины углов. Затем найдите в таблице подходящую строку и сверьте с ней данные задачи. Для полного описания можно указать виды по обоим признакам.

Разбор задач

Задача. В треугольнике ABC укажите вершины, стороны и углы. Нужно связать каждую букву с соответствующей точкой, а пары букв — с отрезками между ними. Угол при вершине обозначают тремя буквами, причём буква вершины стоит посередине. Так запись показывает, где именно расположен угол.

1. Вершины — точки A, B и C, потому что именно этими буквами обозначен треугольник.
2. Стороны соединяют вершины попарно: AB, BC и CA.
3. Углы расположены при вершинах A, B и C; их можно записать как ∠BAC, ∠ABC и ∠BCA.
4. Проверяем: каждой из трёх вершин соответствует один угол, а сторона связывает две вершины.

Ответ: вершины A, B, C; стороны AB, BC, CA; углы BAC, ABC, BCA.

Задача. Стороны треугольника равны 4 см, 4 см и 7 см. Определите его вид по сторонам и найдите периметр. Сначала сравним длины, а затем проверим, допустимы ли они для треугольника. Это полезно сделать до сложения, чтобы убедиться, что речь действительно может идти о треугольнике. После проверки вычислим общую длину его сторон.

1. Две стороны равны: 4 см и 4 см. Значит, треугольник равнобедренный.
2. Проверяем неравенство: 4 + 4 = 8 больше 7, а 4 + 7 больше 4. Все три проверки выполнены.
3. Складываем длины: P = 4 + 4 + 7 = 15 см.

Ответ: равнобедренный треугольник, периметр 15 см.

Задача. Даны отрезки длиной 3 см, 5 см и 9 см. Можно ли построить из них треугольник? Чтобы ответить, проверим условие для самой длинной стороны: сумма двух остальных должна быть больше неё. Если эта проверка не пройдёт, отрезки не смогут замкнуться в треугольник. В данном случае достаточно сравнить 3 + 5 и 9.

1. Складываем два меньших отрезка: 3 + 5 = 8 см.
2. Сравниваем с самым длинным: 8 см меньше 9 см.
3. Условие не выполнено, поэтому построить треугольник нельзя. Проверки для остальных сторон не изменят этот вывод.

Ответ: нельзя, так как 3 + 5 не больше 9.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что у равнобедренного треугольника ровно две равные стороны. Так думают, потому что часто рассматривают пример, где третья сторона отличается. По определению достаточно равенства хотя бы двух сторон, поэтому равносторонний треугольник тоже равнобедренный. Проверьте, не равны ли все три стороны: этот случай входит в равнобедренные.

Ошибка — определять вид по углам только на глаз по рисунку. Схема может быть нарисована неточно, поэтому кажущийся прямым угол не обязательно равен 90°. Проверяйте величины углов или опирайтесь на условие задачи. Если измерение не дано, не делайте вывод только по внешнему виду.

Ошибка — путать обозначение стороны и вершины. Вершину называют одной буквой, а сторону — двумя буквами концов, потому что сторона является отрезком между двумя точками. Например, B — вершина, а AB — сторона. Проверка проста: посмотрите, обозначаете ли вы точку или соединяющий точки отрезок.

Ошибка — складывать длины любых трёх отрезков и сразу называть результат периметром треугольника. Это допускают, забывая, что отрезки должны образовать замкнутую фигуру. Сначала проверьте: сумма любых двух длин больше третьей. Если хотя бы одно неравенство нарушено, треугольника нет и его периметр вычислять нельзя.

Связь с другими темами

Для работы с треугольниками нужны знания об отрезке, его длине и угле. Нужно уметь сравнивать длины отрезков и величины углов, иначе нельзя правильно классифицировать фигуру или проверить возможность её построения. Эти понятия помогают перейти от отдельных точек и линий к изучению многоугольников. Далее периметр и виды треугольников пригодятся в геометрических построениях и задачах на измерение.

Что запомнить

• У треугольника три вершины, три стороны и три угла.
• Треугольник обозначают тремя заглавными буквами по вершинам.
• Равнобедренный треугольник имеет как минимум две равные стороны.
• У равностороннего треугольника все стороны равны.
• Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол.
• Периметр равен сумме длин трёх сторон: P = a + b + c.
• Сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей.