Сравнение чисел

Определения и обозначения

Сравнение чисел — установление того, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Например, сравнив 4 и 9, получаем 4 < 9. Это действие помогает расположить числа по порядку и выбрать подходящее число при решении задачи.

Знаки сравнения «>» и «<» обозначают отношения «больше» и «меньше». Раскрытая часть знака обращена к большему числу: в записи 12 > 5 широкая сторона направлена к 12. Знак помогает коротко и точно записать результат сравнения.

Неравенство — запись, в которой числа или выражения соединены знаком «>» или «<». Например, 7 < 10 и 3 + 2 > 4 — неравенства. По такой записи можно сразу понять, какое выражение имеет большее значение.

Числовая прямая — прямая с началом отсчёта и единичным отрезком, на которой числа располагают по возрастанию слева направо. Начало отсчёта соответствует нулю, а единичный отрезок задаёт расстояние между соседними целыми числами. Эта прямая помогает наглядно сравнивать числа, в том числе отрицательные.

Как это устроено

На числовой прямой каждое число связано с определённым местом, а направление вправо соответствует увеличению чисел. Если перейти от одной отметки к другой вправо, значение становится больше; движение влево означает уменьшение. Поэтому из двух чисел больше то, которое расположено правее. Например, 6 правее 2, значит, 6 > 2.

Положительные целые числа удобно сравнивать по их записи, начиная со старшего разряда. Сначала смотрят на количество цифр: если цифр больше, то и число больше, например 340 > 98. Если цифр поровну, сравнивают цифры слева направо: сначала сотни, потом десятки и единицы. Как только в одном разряде цифры различаются, число с большей цифрой в этом разряде больше.

У отрицательных чисел знак минус меняет порядок: число с большим модулем не становится больше. Модуль показывает расстояние от числа до нуля, поэтому −8 отстоит от нуля дальше, чем −3, и находится левее. Значит, −3 > −8: ближе к нулю среди отрицательных чисел — правее, а потому больше. Это можно проверить, отметив оба числа на числовой прямой.

Числа разных знаков сравнивают по их расположению относительно нуля. Положительное число находится справа от нуля, отрицательное — слева, поэтому любое положительное число больше любого отрицательного. Например, 4 > −100, хотя модуль отрицательного числа больше. Сам ноль также больше любого отрицательного числа и меньше любого положительного.

Чтобы сравнить обыкновенные дроби, их можно привести к общему знаменателю: тогда доли будут одинакового размера, и останется сравнить числители. Например, 2/3 = 8/12, а 3/4 = 9/12, поэтому 2/3 < 3/4. Десятичные дроби сравнивают поразрядно, начиная с целой части, затем с десятых, сотых и следующих разрядов. Если цифр после запятой разное количество, справа можно дописать нули: 0,6 = 0,60.

Способы сравнения чисел

Сначала определи, к какому виду относятся сравниваемые числа, а затем выбери подходящий способ из таблицы. Если числа разных видов, например обыкновенная и десятичная дроби, приведи их к сопоставимому виду. После сравнения проверь, верно ли направлен знак.

Разбор задач

Сравните 47 и 52

Оба числа положительные и двузначные, поэтому сравним их десятки. В числе 47 — 4 десятка, а в числе 52 — 5 десятков. Уже этот разряд определяет порядок чисел, и сравнивать единицы не требуется.

1. Записываем разряды десятков: 4 и 5.
2. Так как 4 < 5, число 47 меньше числа 52.
3. Ставим знак раскрытой стороной к большему числу: 47 < 52.

Ответ: 47 < 52.

Сравните −6 и −2

Оба числа отрицательные, поэтому нельзя сравнивать их так же, как положительные. Представим их на числовой прямой: −6 находится левее −2. Можно также сравнить расстояния до нуля: шесть единиц у −6 и две у −2. Отрицательное число, которое ближе к нулю, больше.

1. Находим расстояния до нуля: для −6 это 6, для −2 это 2.
2. Среди отрицательных чисел ближе к нулю число −2.
3. Значит, −2 больше −6, то есть −6 < −2.

Ответ: −6 < −2.

Сравните 5/8 и 0,6

Здесь сравниваются обыкновенная и десятичная дроби, поэтому сначала запишем их в одном виде. Преобразуем 5/8 в десятичную дробь: деление 5 на 8 даёт 0,625. Теперь сравнение можно выполнить по разрядам, не смешивая разные способы записи.

1. Преобразуем дробь: 5/8 = 0,625.
2. Запишем 0,6 как 0,600, чтобы одинаково видеть разряды.
3. Целые части равны, десятые тоже равны; в сотых 2 < 0, поэтому 0,625 больше 0,600. Точнее, в сотых сравниваются цифры 2 и 0: 2 > 0.
4. Записываем результат: 5/8 > 0,6.

Ответ: 5/8 > 0,6.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль больше. Так путают отрицательные числа с положительными и забывают, что минус меняет порядок. Например, −8 меньше −3, хотя 8 больше 3. Для проверки расположи числа на прямой или выбери то, которое ближе к нулю.

Ошибка: сравнивать дроби только по числителям или только по знаменателям. Размер дроби зависит от обеих частей: одинаковый числитель при большем знаменателе даёт меньшую долю, но в других случаях сравнение может измениться. Приведи дроби к общему знаменателю или сравни их иным способом, учитывающим обе части.

Ошибка: думать, что десятичное число с большим количеством цифр после запятой больше. Количество разрядов само по себе значения не определяет: 0,5 = 0,50, а 0,47 < 0,5. Для проверки допиши справа нули до одинакового количества знаков и сравни записи поразрядно.

Ошибка: направлять знаки «>» и «<» не в ту сторону. Их легко перепутать, если запоминать только название, а не форму. Проверь, что раскрытая часть смотрит на большее число: в записи 9 > 4 она обращена к 9.

Связь с другими темами

Для сравнения пригодятся знания о разрядах натуральных чисел, отрицательных числах, обыкновенных дробях и десятичной записи. Без этих умений трудно выбрать правильный способ сравнения и объяснить результат. Например, правило для отрицательных чисел опирается на их расположение относительно нуля, а сравнение дробей — на понимание числителя и знаменателя.

Сравнение чисел используют, когда числа нужно упорядочить от меньшего к большему или проверить, выполняется ли неравенство. Оно также помогает оценить результат вычисления: можно понять, разумен ли ответ и находится ли он в ожидаемых пределах. Эти навыки встречаются и при решении задач с дробями и отрицательными числами.

Что запомнить

• На числовой прямой большее число расположено правее.
• Любое положительное число больше нуля и любого отрицательного числа.
• Из двух отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю.
• Знак «>» раскрыт в сторону большего числа.
• Дроби сравнивают с учётом и числителей, и знаменателей.
• Десятичные дроби можно сравнивать поразрядно, при необходимости дописав нули справа.