Сравнение чисел

Определения и обозначения

Знак сравнения показывает, как соотносятся два числа. Запись 8 > 5 читают «восемь больше пяти», а запись 3 < 7 — «три меньше семи»; знак = означает равенство, например 4 = 4. Чтобы не перепутать знаки > и <, помните: широкая, открытая часть обращена к большему числу. Эти обозначения позволяют коротко записывать результат сравнения.

Сравнить два числа — значит определить, какое из них больше, или установить, что числа равны. Например, сравнив 6 и 10, мы выясняем, что 6 меньше 10, и записываем 6 < 10. Иногда числа обозначают одной и той же точкой или выражением, тогда между ними ставят знак =. Умение сравнивать нужно, чтобы располагать числа по порядку и выбирать верный знак в неравенстве.

Числовая прямая — это прямая с началом отсчёта, направлением и единичным отрезком, который задаёт расстояние между соседними целыми числами. На ней каждому числу соответствует точка, а числам справа соответствуют точки, расположенные правее. Поэтому по положению точек можно определить, какое число больше, даже если числа отрицательные или дробные. Числовая прямая помогает представить сравнение, а не только запомнить правила.

Противоположные числа имеют равные модули, но разные знаки; например, 4 и −4. Их точки находятся по разные стороны от нуля на одинаковом расстоянии от него. Сам ноль не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам и противоположен самому себе. Это понятие помогает увидеть симметрию чисел и понять их расположение на прямой.

Как это устроено

На числовой прямой числа увеличиваются слева направо. Направление выбрано так, что при движении вправо мы прибавляем положительное расстояние, а при движении влево — уменьшаем значение числа. Поэтому точка, расположенная правее другой, соответствует большему числу. Например, точка числа 5 правее точки числа 2, следовательно, 5 > 2.

Положительные числа находятся справа от нуля, а отрицательные — слева. Значит, любая точка положительного числа расположена правее нуля, поэтому положительное число больше нуля. Точка нуля, в свою очередь, правее любой точки отрицательного числа, так что 0 больше любого отрицательного числа. Этот вывод относится к любым таким числам, а не только к целым: например, 0 > −½.

Если оба числа отрицательные, больше то, которое ближе к нулю. На прямой −3 расположено правее −8: чтобы дойти от −8 до −3, нужно двигаться вправо, увеличивая значение. Поэтому −3 > −8, хотя 3 меньше 8. Можно также сравнить расстояния до нуля: у числа, которое ближе к нулю, модуль меньше, но само отрицательное число больше.

У положительных дробей с одинаковыми знаменателями части имеют одинаковый размер. Тогда достаточно сравнить, сколько таких частей взято: например, 5/8 < 7/8, потому что пять одинаковых частей меньше семи. При разных знаменателях части разного размера, поэтому сравнивать только числители нельзя. Дроби приводят к общему знаменателю, чтобы выразить их одинаковыми по размеру долями, а затем сопоставляют числители.

Десятичные дроби сравнивают по разрядам, начиная с самого крупного. Сначала проверяют целые части; если они равны, сравнивают цифры десятых, затем сотых и следующих разрядов. Например, 2,47 меньше 2,5, потому что 2,5 можно записать как 2,50, а 47 сотых меньше 50 сотых. Нули справа после последнего десятичного знака можно дописывать: они не меняют значение дроби, но помогают сопоставить одинаковые разряды.

Способы сравнения чисел

Сначала определите, к какой строке таблицы относится ваша пара чисел, затем примените указанный способ. В примерах показано, как выглядит итоговая запись; при необходимости можно проверить её расположением чисел на прямой. Для дробей важно сравнивать именно значения, а не отдельные числители или знаменатели.

Разбор задач

Сравните 7 и 12

Оба числа натуральные и положительные, поэтому можно использовать их расположение на числовой прямой. Число 7 стоит левее числа 12, значит, оно меньше. Тот же результат получится, если сравнить числа по разрядам.

1. В числе 7 один разряд, а в числе 12 — два.
2. Натуральное число с меньшим количеством цифр меньше числа с большим количеством цифр.
3. Следовательно, 7 < 12.

Ответ: 7 < 12.

Сравните −4 и −9

Оба числа отрицательные, поэтому нельзя сравнивать их так, как положительные числа. На числовой прямой −4 находится правее −9 и ближе к нулю. Значит, именно −4 больше.

1. Определяем расстояния от чисел до нуля: 4 и 9.
2. Число −4 ближе к нулю, чем −9, поэтому оно расположено правее.
3. Ставим знак так, чтобы его открытая часть была обращена к большему числу: −4 > −9.

Ответ: −4 > −9.

Сравните 5/6 и 7/9

Знаменатели 6 и 9 разные, поэтому сравнение только числителей не даст ответа. Найдём общий знаменатель: наименьшее общее кратное 6 и 9 равно 18. Запишем обе дроби с этим знаменателем, сохранив их значения.

1. Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на 3: 5/6 = 15/18.
2. Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на 2: 7/9 = 14/18.
3. При одинаковых знаменателях сравниваем числители: 15 > 14, значит, 15/18 > 14/18.
4. Возвращаемся к исходным дробям: 5/6 > 7/9.

Ответ: 5/6 > 7/9.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что −9 больше −4, потому что 9 больше 4. Так рассуждают, перенося порядок положительных чисел на отрицательные, но на прямой −9 находится левее −4. Проверка: представьте числа на прямой или сравните расстояния до нуля; ближе к нулю здесь −4, поэтому −4 > −9.

Ошибка: считать дробь с большим знаменателем большей. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, но не говорит сам по себе, сколько этих частей взято. Например, 1/8 < 1/4, хотя 8 > 4. Чтобы проверить себя, приведите дроби к общему знаменателю или изобразите их части одного целого.

Ошибка: сравнивать десятичные дроби по количеству цифр после запятой. Длинная запись не обязательно означает большее значение: например, 1,25 > 1,2, хотя у первой дроби больше цифр после запятой. Сопоставьте целые части, а затем одинаковые разряды; при необходимости запишите 1,2 как 1,20.

Ошибка: путать знак самого числа со знаком сравнения или разворачивать знак не в ту сторону. Минус в записи −4 относится к числу, а знак > или < показывает отношение двух чисел. Сначала установите, какое число больше, затем направьте открытую часть знака к нему и прочитайте запись вслух, чтобы проверить смысл.

Связь с другими темами

Для сравнения чисел понадобятся знания о натуральных числах, обыкновенных дробях и десятичной записи. Натуральные числа можно сравнить по разрядам, дроби — уравнять по знаменателю, а десятичные числа — сопоставить поразрядно. Знание числовой прямой помогает связать эти способы с наглядным расположением чисел.

Сравнение нужно, когда числа упорядочивают от меньшего к большему или решают неравенства. Оно помогает понять, какие значения могут удовлетворять условию, и проверить, верно ли записан ответ. Координатная прямая тоже опирается на порядок чисел: координата точки показывает её положение относительно нуля и других точек.

Что запомнить

• На числовой прямой больше число, расположенное правее.
• Любое положительное число больше нуля.
• Ноль больше любого отрицательного числа.
• Из двух отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю.
• Дроби с разными знаменателями можно сравнить, приведя их к общему знаменателю.
• В десятичных дробях сравнивают целые части, а затем цифры соответствующих разрядов.