"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Арифметические действия помогают находить общее количество, остаток, число одинаковых групп и результат распределения. Их четыре: сложение, вычитание, умножение и деление. У каждого действия есть своё обозначение и названия компонентов, а некоторые действия связаны как обратные: результат одного помогает проверить другое. Чтобы вычислять выражения без ошибок, нужно знать смысл действий и соблюдать их порядок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение — действие, которое объединяет количества; его обозначают знаком «+». Числа, которые складывают, называются слагаемыми, а результат — суммой. Например, если к 3 предметам добавить 2, получится 3 + 2 = 5, то есть общее количество.
Вычитание помогает узнать, сколько осталось, или найти разность между числами; его обозначают знаком «−». В записи 9 − 4 = 5 число 9 — уменьшаемое, 4 — вычитаемое, 5 — разность. Эти названия помогают не перепутать, какое число было сначала, а какое отнимают.
Умножение — действие, заменяющее сложение одинаковых слагаемых; его обозначают точкой «·» или знаком «×». Числа, которые перемножают, называются множителями, а результат — произведением. Так короче записывают повторяющееся сложение и легче считают одинаковые группы.
Деление означает распределение на равные части или выяснение, сколько раз одно число содержится в другом; его обозначают «:» или «÷». В записи 12 : 3 число 12 — делимое, 3 — делитель, а результат — частное. Смысл ситуации подсказывает, ищем ли мы размер одной части или число таких частей.
Сложение и вычитание связаны, потому что одно действие собирает части в целое, а другое позволяет отделить часть от целого. Если известно, что 7 + 5 = 12, проверка вычитанием даст 12 − 5 = 7 или 12 − 7 = 5. И наоборот: равенство 12 − 5 = 7 можно проверить сложением 7 + 5 = 12. Проверка работает потому, что она восстанавливает исходные числа и их связь.
Умножение натурального числа на другое можно представить сложением одинаковых слагаемых. Например, 4 · 3 означает взять число 3 четыре раза: 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Такая запись особенно удобна, когда одинаковых групп много: вместо длинной суммы достаточно перемножить количество групп и число предметов в каждой. Она также помогает понять, что именно означает произведение.
Деление и умножение обратны, потому что деление разбирает произведение на множители. Если 4 · 3 = 12, то 12 : 3 = 4 и 12 : 4 = 3. Поэтому деление проверяют умножением: частное умножают на делитель и сравнивают с делимым. Если произведение совпало с делимым, вычисление выполнено верно.
Деление на ноль невозможно: не существует такого числа, которое при умножении на ноль дало бы ненулевое делимое. Например, запись 6 : 0 потребовала бы найти число, для которого 0 · это число = 6, а любое произведение с нулём равно нулю. Поэтому частного при делении на ноль нет. А если делимое равно нулю, а делитель не равен нулю, частное равно нулю: 0 : 5 = 0, поскольку 0 · 5 = 0.
Порядок действий нужен, чтобы у каждого выражения был один и тот же результат независимо от того, кто его вычисляет. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после этого сложение и вычитание. У действий одинакового приоритета нет преимущества друг перед другом, поэтому их выполняют слева направо. Скобки могут изменить привычный порядок: они показывают, какую часть выражения нужно вычислить первой.
| Действие | Обозначение | Компоненты | Результат |
|---|---|---|---|
| Сложение | + | слагаемые | сумма |
| Вычитание | − | уменьшаемое, вычитаемое | разность |
| Умножение | · или × | множители | произведение |
| Деление | : или ÷ | делимое, делитель | частное |
Пользуйся таблицей, чтобы определить действие по знаку и правильно назвать числа в записи. Например, в выражении 15 − 6 число 15 — уменьшаемое, а 6 — вычитаемое. Если сомневаешься, сначала установи смысл действия, а затем найди его компоненты.
В коробке было 18 карандашей, положили ещё 7. Нужно узнать общее количество после того, как две части оказались вместе. Слова «положили ещё» указывают на объединение, поэтому выбираем сложение.
Ответ: стало 25 карандашей. Проверить смысл можно обратным действием: если убрать добавленные 7 карандашей, останется 18. Значит, найденное общее количество согласуется с условием.
В 6 пакетах лежит по 4 яблока, и требуется узнать число яблок во всех пакетах. Здесь повторяются одинаковые группы: в каждом пакете по 4 яблока. Вместо сложения 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 удобно использовать умножение.
Ответ: в пакетах 24 яблока. Умножение здесь означает, что число 4 складывается шесть раз. Проверка сложением даёт ту же сумму: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24.
Вычислим 48 : (3 + 5) · 2 − 4 и проверим результат. Скобки определяют первое действие, а деление и умножение имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо. Сложение и вычитание выполняются после них, поэтому нельзя начинать с 48 : 3 или сразу вычитать 4.
Ответ: 8. Проверка показывает, что после отмены вычитания и умножения деление восстановило число 48. При вычислении мы использовали деление и умножение именно слева направо.
Можно перепутать названия компонентов и назвать вычитаемое уменьшаемым. Так происходит, если ориентироваться только на порядок слов, а не на роль числа в записи: в 15 − 6 первым стоит уменьшаемое, вторым — вычитаемое. Проверь себя вопросом: какое число уменьшают и какое отнимают? В примере 15 − 6 уменьшают 15, а отнимают 6.
Перестановка чисел сохраняет результат сложения и умножения, но не всегда сохраняет его при вычитании и делении. Ошибка появляется, когда свойства одного действия переносят на другое: например, 10 − 3 = 7, а 3 − 10 не равно 7. С делением так же: 12 : 3 = 4, но 3 : 12 — не 4. Для проверки поменяй числа местами и сравни результаты.
Некоторые считают, что делить можно на любое число, потому что деление встречается в обычных вычислениях. Однако проверить частное можно умножением, а произведение любого числа на ноль равно нулю. Оно не может дать ненулевое делимое, поэтому частного при делении на ноль нет. Перед делением проверь, не равен ли делитель нулю.
Ещё одна ошибка — выполнять сложение раньше умножения или считать всё строго слева направо. Это происходит, если забыть о скобках и приоритете действий: в выражении 2 + 3 · 4 сначала нужно найти 3 · 4, а не вычислять 2 + 3. Сначала обработай скобки, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание. Для одинакового приоритета сохраняй направление слева направо.
Чтобы уверенно выполнять арифметические действия, нужно уметь считать предметы, знать натуральные числа и читать математические записи. Эти действия используются при нахождении значений выражений и решении текстовых задач, а также при работе с дробями. Связь обратных действий пригодится при решении уравнений: с её помощью можно найти неизвестное число и проверить вычисления. Поэтому понимание смысла действий важнее простого запоминания знаков.
Как понять, какое арифметическое действие выбрать в текстовой задаче?
Определи, что происходит с предметами или количествами: их объединяют, находят остаток, считают одинаковые группы или распределяют поровну. Затем соотнеси ситуацию со смыслом действия. Например, если к имеющимся предметам добавляют новые, обычно нужно сложение.
Почему вычитание и деление называют действиями, обратными сложению и умножению?
Вычитанием можно проверить сложение: к разности прибавляют вычитаемое и получают уменьшаемое. Умножение проверяет деление: частное умножают на делитель и получают делимое. Обратное действие помогает восстановить исходное число.
Можно ли поменять местами числа при вычитании или делении?
Нет, при вычитании и делении перестановка чисел обычно меняет результат. Например, 9 − 4 = 5, а 4 − 9 не равно 5; 12 : 3 = 4, а 3 : 12 — другое число. Поэтому сначала выясняй роль каждого числа.
Почему нельзя делить на ноль?
Деление проверяют умножением: если бы 6 : 0 равнялось какому-то числу, это число, умноженное на 0, должно было бы дать 6. Но произведение любого числа на 0 равно 0. Поэтому частного при делении на ноль не существует.
В каком порядке выполнять действия в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после них — сложение и вычитание. Если действия имеют одинаковый приоритет, их выполняют слева направо. Например, в записи 12 : 3 · 2 сначала делят 12 на 3, а потом умножают результат на 2.
Арифметические действия
