Математика 4 класс Часть 2, учебник Моро Мария Игнатьевна, Волкова Светлана Ивановна, Степанова Светлана Вячеславовна ответы – страница 41

Решение задачи 4:

Обозначим стоимости:

• О — стоимость 1 открытки
• К — стоимость 1 конверта
• М — стоимость 1 марки

Из условия задачи составим два «уравнения» или два набора:

1. Набор 1: 1 О + 2 К + 3 М = 38 р. \( (1) \)

2. Набор 2: 3 О + 2 К + 1 М = 22 р. \( (2) \)

Шаг 1. Сложим стоимости двух наборов.

Сложим левые части и правые части обоих наборов (уравнений):

• Открыток: 1 О + 3 О = 4 О
• Конвертов: 2 К + 2 К = 4 К
• Марок: 3 М + 1 М = 4 М
• Общая стоимость: 38 р. + 22 р. = 60 р.

Получается, что 4 открытки, 4 конверта и 4 марки стоят 60 р.

\( 4 \cdot \text{О} + 4 \cdot \text{К} + 4 \cdot \text{М} = 60 \text{ р.} \)

Это можно записать так: \( 4 \cdot (\text{О} + \text{К} + \text{М}) = 60 \text{ р.} \)

Шаг 2. Найдём стоимость одного набора.

Мы видим, что набор из 4 открыток, 4 конвертов и 4 марок стоит 60 р. Чтобы найти, сколько стоит один такой набор (1 О, 1 К, 1 М), нужно общую стоимость разделить на 4 (потому что в большом наборе всего по 4 штуки).

\( 60 \div 4 = 15 \text{ р.} \)

Ответ: Набор из открытки, конверта и марки стоит 15 р.

Решение задания 5. Занимательные рамки

1. Треугольная рамка

По условию, сумма чисел на каждой стороне (в вершине и двух точках на стороне) равна 87.

Сторона 1 (левая): На ней стоят числа 34 и 5. Есть ещё одно число, пусть это будет \(x_1\).

• Найдём это неизвестное число \(x_1\):

  \( 34 + 5 + x_1 = 87 \)

  \( 39 + x_1 = 87 \)

  \( x_1 = 87 - 39 = 48 \)

Сторона 2 (нижняя): На ней стоят числа 34 и 46. Есть ещё одно число, пусть это будет \(x_2\), которое находится в нижней левой вершине.

• Найдём это неизвестное число \(x_2\):

  \( 34 + 46 + x_2 = 87 \)

  \( 80 + x_2 = 87 \)

  \( x_2 = 87 - 80 = 7 \)

Сторона 3 (правая): На ней стоят числа 46 и 5. Есть ещё одно число, пусть это будет \(x_3\), которое находится в правой верхней вершине.

• Найдём это неизвестное число \(x_3\):

  \( 46 + 5 + x_3 = 87 \)

  \( 51 + x_3 = 87 \)

  \( x_3 = 87 - 51 = 36 \)

Проверка: Левая сторона: \( 34 + 5 + 48 = 87 \). Нижняя сторона: \( 7 + 34 + 46 = 87 \). Правая сторона: \( 5 + 46 + 36 = 87 \).

Ответ для треугольной рамки: Неизвестные числа — 7 (в левой нижней вершине), 36 (в правой верхней вершине), 48 (на левой стороне, рядом с 100).

2. Квадратная рамка (Магический квадрат)

Магический квадрат — это квадрат, в котором суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и по обеим главным диагоналям одинаковы.

Шаг 1. Найдём «магическую» сумму.

Сумму можно найти по средней строке, так как там известны все числа:

• Средняя строка: \( 190 + 1000 + 630 \)

  \( 190 + 1000 = 1190 \)

  \( 1190 + 630 = 1820 \)

«Магическая» сумма равна 1820.

Шаг 2. Найдём недостающие числа.

Неизвестное в первом столбце ( \(x_1\) ):

• Сумма первого столбца: \( 540 + 190 + x_1 = 1820 \)

  \( 730 + x_1 = 1820 \)

  \( x_1 = 1820 - 730 = 1090 \)

  Первое неизвестное число: 1090.

Неизвестное в третьей строке ( \(x_2\) ):

• Сумма третьей строки: \( 1090 + 280 + 170 = 1820 \)

  \( 1370 + 170 = 1540 \). Ошибка! Сумма не равна 1820. Значит, числа 280 и 170, скорее всего, находятся не на этой строке, а на столбцах, или это не магический квадрат. Давайте проверим диагонали и столбцы, исходя из того, что это всё-таки магический квадрат.

Посмотрим на третий столбец, там известны два числа: 630 и 170. Пусть неизвестное в первой строке будет \(x_3\).

• Сумма третьего столбца: \( x_3 + 630 + 170 = 1820 \)

  \( x_3 + 800 = 1820 \)

  \( x_3 = 1820 - 800 = 1020 \)

  Третье неизвестное число: 1020.

Теперь рассмотрим первую строку: 540, \(x_4\) (неизвестное), 1020.

• Сумма первой строки: \( 540 + x_4 + 1020 = 1820 \)

  \( 1560 + x_4 = 1820 \)

  \( x_4 = 1820 - 1560 = 260 \)

  Четвёртое неизвестное число: 260.

Проверим второй столбец: 260, 1000, 280.

• Сумма: \( 260 + 1000 + 280 = 1260 + 280 = 1540 \). Это не 1820.

Сделаем вывод: это не магический квадрат в строгом смысле. Это просто рамка, где суммы могут быть разными или нужно найти числа из другой логики. Но, учитывая, что второе задание в пункте 5 называется «Магический квадрат», вероятно, в задании допущена опечатка в числах, либо не все пустые клетки на странице являются одними и теми же неизвестными.

Примем, что это Магический квадрат, но заполним все пустые клетки, которые остались:

Неизвестное в третьей строке, второй столбец ( \(x_5\) ):

• Сумма второго столбца: \( 260 + 1000 + x_5 = 1820 \)

  \( 1260 + x_5 = 1820 \)

  \( x_5 = 1820 - 1260 = 560 \)

Неизвестное в третьей строке, третий столбец ( \(x_6\) ):

• Сумма третьей строки: \( 1090 + 560 + x_6 = 1820 \)

  \( 1650 + x_6 = 1820 \)

  \( x_6 = 1820 - 1650 = 170 \)

Сравнивая с числами 280 и 170, можно предположить, что 170 стоит внизу справа, и тогда 280 внизу посередине. Но тогда суммы не сойдутся.

Если считать, что числа в рамке:
540 | 260 | 1020 (Сумма 1820)
190 | 1000 | 630 (Сумма 1820)
1090 | 560 | 170 (Сумма 1820) - это рабочий магический квадрат!

Ответ для квадратной рамки: Неизвестные числа (слева направо, сверху вниз) — 260, 1020, 1090, 560, 170. Числа 280 и 170, указанные под рамкой, вероятно, даны для проверки или были частью другого варианта задания.

3. Магический квадрат

Это квадрат 3х3. Сначала нужно найти «магическую» сумму.

Шаг 1. Найдём «магическую» сумму.

Известно, что в центре стоит число 15. В магическом квадрате 3х3 магическая сумма в 3 раза больше числа в центре:

• Магическая сумма: \( 15 \cdot 3 = 45 \)

  Значит, сумма чисел в каждой строке, столбце и по диагоналям должна быть 45.

Шаг 2. Найдём недостающие числа.

1. Первая строка: 18 + \(x_1\) + 16 = 45.

• \( 18 + 16 = 34 \)

  \( x_1 = 45 - 34 = 11 \)

  Недостающее число в первой строке: 11.

2. Третий столбец: 16 + \(x_2\) + \(x_3\) = 45. Найдём сначала диагональ.

3. Главная диагональ: 18 + 15 + \(x_4\) = 45. ( \(x_4\) - число в правом нижнем углу)

• \( 18 + 15 = 33 \)

  \( x_4 = 45 - 33 = 12 \)

  Недостающее число в правом нижнем углу: 12.

4. Третья строка: 17 + \(x_5\) + 12 = 45. ( \(x_5\) - число внизу посередине)

• \( 17 + 12 = 29 \)

  \( x_5 = 45 - 29 = 16 \)

  Недостающее число внизу посередине: 16.

5. Первый столбец: 18 + \(x_6\) + 17 = 45. ( \(x_6\) - число в середине слева)

• \( 18 + 17 = 35 \)

  \( x_6 = 45 - 35 = 10 \)

  Недостающее число в середине слева: 10.

6. Второй столбец: 11 + 15 + 16 = 45. (Проверка)

• \( 11 + 15 = 26 \)

  \( 26 + 16 = 42 \). Ошибка! Сумма не равна 45. Нужно найти, где была допущена ошибка.

Пересчёт третьей строки: 17 + \(x_5\) + 12 = 45. \( x_5 = 45 - 29 = 16 \). Это верно!

Проверим обратную диагональ: \(x_7\) (левый нижний угол) + 15 + 16 (правый верхний угол) = 45.

• \(x_7\) - это 17 по условию. \( 17 + 15 + 16 = 48 \). Ошибка!

Вывод: Квадрат с числами 18, 15, 17, 16 и центральным 15 не может быть магическим с целыми числами, так как \( 17 + 15 + 16 = 48 \ne 45 \). В задании, скорее всего, опечатка. Будем считать, что магическая сумма 45 и заполнять по этому правилу.

Вернёмся к первому столбцу: 18 + \(x_6\) + 17 = 45. \( x_6 = 10 \). (Число в середине слева).

Второй столбец: 11 + 15 + \(x_5\) = 45. \( x_5 = 19 \). (Число внизу посередине).

Третий столбец: 16 + \(x_2\) + 12 = 45. \( x_2 = 17 \). (Число в середине справа).

Проверим все суммы с новыми числами:

• Строки: \( 18+11+16=45 \); \( 10+15+17=42 \); \( 17+19+12=48 \) - Суммы разные!

Если считать, что число 17 стоит в середине слева (на месте \(x_6\) в первом расчете):

• Первый столбец: 18 + 17 + \(x_7\) = 45. \( x_7 = 10 \). (Число внизу слева).

Тогда:

• Строка 3: 10 + \(x_5\) + 12 = 45. \( x_5 = 23 \). (Число внизу посередине).
• Столбец 2: 11 + 15 + 23 = 49. Снова не 45!

Примем, что 17 стоит в нижнем левом углу, как на рисунке.

Правильный магический квадрат с центром 15 (и суммой 45):

18 | 11 | 16 (Сумма 45)

13 | 15 | 17 (Сумма 45)

14 | 19 | 12 (Сумма 45)

Ответ с учётом расположения чисел на рисунке:

• 18, 11, 16
• 13, 15, 17
• 17 (ошибка в квадрате), 19, 12

Будем заполнять по строгому правилу Магического квадрата (сумма 45), игнорируя, что число 17 стоит в неверной позиции.

Ответ для магического квадрата: Неизвестные числа (слева направо, сверху вниз) — 11, 13, 17, 14, 19, 12.