Математика 4 класс Часть 2, учебник Моро Мария Игнатьевна, Волкова Светлана Ивановна, Степанова Светлана Вячеславовна ответы – страница 89

Объяснение, почему можно записать несколько разных чисел:

• С помощью одних и тех же цифр можно записать несколько разных чисел, потому что значение цифры зависит от её места (позиции) в записи числа. Это называется позиционная система счисления.

• Например, в числе 4320 цифра 4 стоит на месте тысяч, цифра 3 — на месте сотен, цифра 2 — на месте десятков, а цифра 0 — на месте единиц.

• Если мы поменяем цифры местами, например, получим число 3024, то цифра 3 уже будет обозначать тысячи, а 4 — единицы. Числа получатся разными.

Запись всех возможных четырёхзначных чисел:

У нас есть цифры \( 4, 0, 3, 2 \). Для четырёхзначного числа первая цифра (разряд тысяч) не может быть нулём.

1. Начинаем с цифры 4 (разряд тысяч):

• \( 4320 \)

• \( 4302 \)

• \( 4230 \)

• \( 4203 \)

• \( 4032 \)

• \( 4023 \)

2. Начинаем с цифры 3 (разряд тысяч):

• \( 3420 \)

• \( 3402 \)

• \( 3240 \)

• \( 3204 \)

• \( 3042 \)

• \( 3024 \)

3. Начинаем с цифры 2 (разряд тысяч):

• \( 2430 \)

• \( 2403 \)

• \( 2340 \)

• \( 2304 \)

• \( 2043 \)

• \( 2034 \)

Всего: \( 6 + 6 + 6 = 18 \) чисел.

Объяснение, что означает цифра 0:

Цифра 0 в записи числа означает, что в данном разряде нет единиц. То есть, она показывает отсутствие единиц этого разряда.

Примеры:

• В числе \( 4320 \) нуль стоит в разряде единиц. Это означает, что в числе 0 единиц.

• В числе \( 4203 \) нуль стоит в разряде десятков. Это означает, что в числе 0 десятков.

• В числе \( 4032 \) нуль стоит в разряде сотен. Это означает, что в числе 0 сотен.

Одна тысяча — это число \( 1000 \).

• Число \( 1000 \) содержит цифру \( 1 \) и 3 нуля после неё.

• Ответ: 3 нуля.

Сто тысяч — это число \( 100 000 \).

• Число \( 100 000 \) содержит цифру \( 1 \) и 5 нулей после неё (два нуля в классе единиц и три нуля в классе тысяч).

• Ответ: 5 нулей.

Один миллион — это число \( 1 000 000 \).

• Число \( 1 000 000 \) содержит цифру \( 1 \) и 6 нулей после неё (три нуля в классе единиц и три нуля в классе тысяч).

• Ответ: 6 нулей.

Чтобы получить число, которое в \( 10, 100, 1000 \) раз больше данного числа, нужно к этому числу справа приписать столько же нулей, сколько их в числе \( 10, 100, 1000 \) соответственно. Это равносильно умножению числа на \( 10, 100 \) или \( 1000 \).

• Чтобы увеличить число в 10 раз (в числе 10 — один нуль), нужно приписать справа один нуль.

• Чтобы увеличить число в 100 раз (в числе 100 — два нуля), нужно приписать справа два нуля.

• Чтобы увеличить число в 1000 раз (в числе 1000 — три нуля), нужно приписать справа три нуля.

Пример: Возьмём число 52.

• Увеличим его в 10 раз: \( 52 \cdot 10 = 520 \). (Приписали один нуль).

• Увеличим его в 100 раз: \( 52 \cdot 100 = 5200 \). (Приписали два нуля).

• Увеличим его в 1000 раз: \( 52 \cdot 1000 = 52 000 \). (Приписали три нуля).

Шестизначное число состоит из двух классов: класс единиц (единицы, десятки, сотни) и класс тысяч (единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч). Всего 6 разрядов.

Самый высший (старший) разряд — это самый левый разряд.

• В шестизначном числе это шестой разряд.

• Он называется сотни тысяч.

• Ответ: Сотни тысяч.

Восьмизначное число состоит из трёх классов: класс единиц, класс тысяч и класс миллионов. Всего 8 разрядов.

Самый высший (старший) разряд — это самый левый разряд.

• В восьмизначном числе это восьмой разряд.

• Он называется десятки миллионов.

• Ответ: Десятки миллионов.

1. Запись числа цифрами:

• Число состоит из трёх классов: миллионов, тысяч, единиц.

• Класс миллионов: 2 миллиона. Пишем: \( 2 \).

• Класс тысяч: 36 тысяч. В классе тысяч должно быть 3 цифры (сотни, десятки, единицы тысяч). Так как у нас только «36», мы должны написать 0 сотен тысяч. Пишем: \( 036 \).

• Класс единиц: 5. В классе единиц также должно быть 3 цифры. Так как у нас только «5», мы должны написать 0 сотен и 0 десятков. Пишем: \( 005 \).

• Собираем все классы вместе: \( 2 \space 036 \space 005 \).

• Ответ: \( 2 036 005 \).

2. Объяснение использования цифры \( 0 \):

• Цифра 0 использована 3 раза: один раз в классе тысяч и два раза в классе единиц.

• Почему: Цифра 0 используется, чтобы обозначить отсутствие единиц в определённом разряде и чтобы занять место разряда для правильного обозначения значения других цифр.

• Разряды, где использована \( 0 \):

  • Сотни тысяч (2 миллиона 0 сотен тысяч 36 тысяч...): В классе тысяч было только 36 тысяч, поэтому 0 стоит на месте сотен тысяч.

  • Сотни (..36 тысяч 0 сотен 0 десятков 5 единиц): В классе единиц было только 5 единиц, поэтому 0 стоит на месте сотен.

  • Десятки (..36 тысяч 0 сотен 0 десятков 5 единиц): В классе единиц было только 5 единиц, поэтому 0 стоит на месте десятков.

Разбиваем число на классы справа налево по три цифры:

• \( 3 \space 870 \space 563 \space 027 \)

• Класс миллиардов: 3.

• Класс миллионов: 870.

• Класс тысяч: 563.

• Класс единиц: 027 (двадцать семь).

Ответ: Три миллиарда восемьсот семьдесят миллионов пятьсот шестьдесят три тысячи двадцать семь.

Разбиваем число на классы справа налево по три цифры:

• \( 17 \space 008 \space 032 \)

• Класс миллионов: 17.

• Класс тысяч: 008 (восемь).

• Класс единиц: 032 (тридцать два).

Ответ: Семнадцать миллионов восемь тысяч тридцать два.

Разбиваем число на классы справа налево по три цифры:

• \( 640 \space 003 \space 007 \)

• Класс миллионов: 640.

• Класс тысяч: 003 (три).

• Класс единиц: 007 (семь).

Ответ: Шестьсот сорок миллионов три тысячи семь.

Приём сравнения: Поразрядное сравнение

Сравниваем числа \( 378 \) и \( 379 \). Оба числа трёхзначные (состоят из одинакового числа разрядов), поэтому начинаем сравнивать с самого старшего разряда — сотен.

• Сотни: \( 3 = 3 \). (Одинаковые)

• Десятки: \( 7 = 7 \). (Одинаковые)

• Единицы: \( 8 \lt 9 \). (8 меньше 9)

• Поскольку \( 8 \lt 9 \), то и всё число \( 378 \) меньше числа \( 379 \).

Ответ: \( 378 \lt 379 \).

Приём сравнения: По числу разрядов

Сравниваем числа \( 6 \space 572 \) и \( 986 \).

• Число \( 6 \space 572 \) — четырёхзначное (4 цифры).

• Число \( 986 \) — трёхзначное (3 цифры).

• Правило гласит: число с бо́льшим количеством разрядов всегда больше числа с меньшим количеством разрядов.

• Поскольку \( 4 \gt 3 \), то \( 6 \space 572 \) больше \( 986 \).

Ответ: \( 6 \space 572 \gt 986 \).

Приём сравнения: Поразрядное сравнение

Сравниваем числа \( 42 \space 375 \) и \( 39 \space 879 \). Оба числа пятизначные (состоят из одинакового числа разрядов), поэтому начинаем сравнивать с самого старшего разряда — десятков тысяч.

• Десятки тысяч: \( 4 \gt 3 \). (4 больше 3)

• Поскольку цифра в самом старшем разряде первого числа больше, чем цифра в самом старшем разряде второго числа, то и всё число \( 42 \space 375 \) больше числа \( 39 \space 879 \).

Ответ: \( 42 \space 375 \gt 39 \space 879 \).

Натуральные числа, которые меньше числа \( 57 \), — это все числа от 1 до 56 включительно: \( 1, 2, 3, \dots, 56 \).

• Таких чисел 56.

• Если учесть число \( 0 \), как просят в задании, то к этим 56 натуральным числам нужно добавить ещё и ноль.

• Всего чисел: \( 56 + 1 = 57 \).

Ответ: 57 чисел (от \( 0 \) до \( 56 \) включительно).

Нельзя назвать все числа, которые больше, чем \( 57 \), потому что натуральных чисел бесконечно много.

• Числа, которые больше \( 57 \), это \( 58, 59, 60, \dots \) и так далее до бесконечности.

• Какое бы большое число мы ни назвали, всегда можно назвать число ещё больше, например, прибавив к нему 1 (\( N+1 \)).

• Математики говорят, что множество натуральных чисел не ограничено сверху.

Число, которое следует при счёте за данным числом, на 1 больше его. Нужно прибавить к \( 9999 \) единицу:

\( 9999 + 1 = 10 \space 000 \)

Ответ: \( 10 \space 000 \) (десять тысяч).

Нужно прибавить к \( 1 \space 000 \space 000 \) единицу:

\( 1 \space 000 \space 000 + 1 = 1 \space 000 \space 001 \)

Ответ: \( 1 \space 000 \space 001 \) (один миллион один).

Один миллиард — это \( 1 \space 000 \space 000 \space 000 \). Нужно прибавить к нему единицу:

\( 1 \space 000 \space 000 \space 000 + 1 = 1 \space 000 \space 000 \space 001 \)

Ответ: \( 1 \space 000 \space 000 \space 001 \) (один миллиард один).

Однозначные числа — это числа от 1 до 9. (В некоторых случаях включают 0, но в курсе математики для 4 класса, как правило, под однозначными числами подразумевают натуральные числа).

• Считаем: \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \).

• Всего 9 чисел.

Ответ: 9 однозначных чисел.

Двузначные числа — это числа от 10 до 99.

Чтобы найти их количество, нужно от последнего числа отнять первое и прибавить 1 (потому что мы включаем и последнее число в счёт):

\( 99 - 10 + 1 = 89 + 1 = 90 \)

Ответ: 90 двузначных чисел.

Трёхзначные числа — это числа от 100 до 999.

Чтобы найти их количество, нужно от последнего числа отнять первое и прибавить 1:

\( 999 - 100 + 1 = 899 + 1 = 900 \)

Ответ: 900 трёхзначных чисел.

Когда говорят «числа между \( 48 \) и \( 95 \)», это означает, что нужно посчитать все числа, которые больше \( 48 \) и меньше \( 95 \). То есть, числа \( 49, 50, 51, \dots, 94 \).

Чтобы найти их количество, нужно от последнего числа (94) отнять первое число (49) и прибавить 1 (потому что мы включаем в счёт и последнее, и первое число этого промежутка):

\( 94 - 49 + 1 = 45 + 1 = 46 \)

Другой способ: отнять из большего числа (95) меньшее (48), а затем вычесть 1 (потому что мы не включаем в счёт ни 48, ни 95).

\( 95 - 48 - 1 = 47 - 1 = 46 \)

Ответ: 46 чисел находится между числами \( 48 \) и \( 95 \).

Пример: Возьмём трёхзначное число 456.

• Если приписать слева цифру \( 1 \), то получим число 1456.

• Трёхзначное число 456 имеет 4 сотни, 5 десятков, 6 единиц.

• Полученное четырёхзначное число 1456 имеет 1 тысячу, 4 сотни, 5 десятков, 6 единиц.

• Новое число стало больше на 1000 (на одну тысячу), потому что приписанная цифра \( 1 \) встала в разряд тысяч и её значение стало \( 1000 \).

Объяснение: Если к любому трёхзначному числу приписать слева цифру \( 1 \), число увеличится на 1000.

Пример: Возьмём трёхзначное число 456.

• Если приписать слева цифру \( 2 \), то получим число 2456.

• Новое число стало больше, чем 456, на \( 2456 - 456 = 2000 \).

• Приписанная цифра \( 2 \) встала в разряд тысяч и её значение стало \( 2000 \).

Объяснение: Если к любому трёхзначному числу приписать слева цифру \( 2 \), число увеличится на 2000.

Пример: Возьмём трёхзначное число 456.

• Если приписать слева цифру \( 3 \), то получим число 3456.

• Новое число стало больше, чем 456, на \( 3456 - 456 = 3000 \).

• Приписанная цифра \( 3 \) встала в разряд тысяч и её значение стало \( 3000 \).

Объяснение: Если к любому трёхзначному числу приписать слева цифру \( 3 \), число увеличится на 3000.