§ 37. Вынесение общего множителя за скобки

Определения и обозначения

Общий множитель — множитель, который входит в каждый член многочлена или выражения. Например, в 6x + 9 число 3 является общим множителем, потому что и 6x, и 9 делятся на 3. Поиск такого множителя помогает увидеть, как упростить запись. За скобки можно вынести только то, что действительно есть во всех членах.

Вынесение общего множителя за скобки — преобразование суммы или разности в произведение по распределительному свойству умножения. Например, сумму ab + ac можно записать как a(b + c). Вынесенный множитель ставят перед скобками, а внутри записывают то, что осталось после деления каждого члена. Это позволяет заменить несколько слагаемых более удобной записью.

Разложение на множители — представление выражения в виде произведения нескольких множителей. Например, 6x + 9 можно представить как 3(2x + 3). Это полезно, когда произведение легче использовать в вычислениях или при решении задачи. Вынесение общего множителя — один из способов такого разложения.

Коэффициент — числовой множитель одночлена, то есть части выражения, в которой числа и буквы соединены умножением. В одночлене 15a³b коэффициент равен 15. Сравнивая коэффициенты членов, мы ищем общий числовой множитель. Он должен делить каждый коэффициент без остатка.

Как это устроено

Распределительное свойство позволяет умножить число или выражение на сумму: ab + ac = a(b + c). При вынесении множителя действуют в обратном направлении: замечают одинаковый множитель в слагаемых и записывают его один раз перед скобками. Внутри скобок остаются другие множители каждого слагаемого. Проверить ход можно обратным действием — раскрыть скобки и убедиться, что получилась исходная сумма.

Сначала удобно разобраться с числами перед буквами — коэффициентами. Нужно найти наибольший общий делитель этих чисел, то есть наибольшее число, на которое делится каждый коэффициент. Например, для 12 и 18 это 6, так как оба числа делятся на 6, а большего общего делителя у них нет. Если взять меньший делитель, разложение тоже может быть верным, но в скобках останутся числа, которые можно было вынести дополнительно.

Затем проверяют буквенную часть каждого члена. В общую часть попадают только переменные, которые встречаются в каждом члене: буква, отсутствующая хотя бы в одном из них, не может быть общим множителем. Если одна и та же буква входит в члены в разных степенях, выбирают наименьшую степень. Так гарантируется, что вынесенный множитель делит каждый член, а остаток не требует отрицательных степеней.

Общий множитель может состоять сразу из числа и нескольких букв. Например, у членов 15a³b и 10a²b² общий числовой множитель равен 5, а общая буквенная часть — a²b. Значит, выносят 5a²b и каждый член делят на него отдельно. Проверка умножением показывает, что 5a²b(3a − 2b) снова даёт 15a³b − 10a²b².

Иногда одинаковым множителем служит не отдельная буква, а целый многочлен, например x − 3. Его можно вынести так же, как число: оставить один раз перед скобками, а остальные множители записать внутри. При выборе знака можно вынести и противоположный множитель, чтобы внутри получить удобные знаки. Например, вынос −a вместо a меняет знаки всех членов в скобках, ведь −a(b − c) = a(−b + c).

Поиск общего множителя и результат вынесения

Пользуйтесь таблицей как последовательностью проверок: сначала найдите общую числовую часть, затем буквенную или общий многочлен. В скобках запишите результат деления каждого члена, сохраняя его знак. После этого раскройте скобки: исходное выражение должно восстановиться.

Разбор задач

Задача 1. Разложить на множители 12x + 18. Здесь два члена, а их коэффициенты 12 и 18 делятся на 6. Буква x не входит во второй член, поэтому общим множителем она быть не может. Выносим наибольший общий числовой множитель.

1. Находим наибольший общий делитель коэффициентов: НОД(12, 18) = 6.
2. Делим каждый член на 6: 12x : 6 = 2x, 18 : 6 = 3.
3. Записываем общий множитель перед скобками: 12x + 18 = 6(2x + 3).
4. Проверяем: 6 · 2x + 6 · 3 = 12x + 18, значит, запись верна.

Ответ: 6(2x + 3). Обратите внимание: если взять общий множитель 3, разложение тоже будет правильным, но число 2 останется общим для членов в скобках. Выбор числа 6 сразу даёт более полный результат. Проверка раскрытием скобок подтверждает оба слагаемых исходной суммы.

Задача 2. Разложить на множители 15a³b − 10a²b². Сначала отдельно ищем общий числовой и буквенный множители. Среди коэффициентов 15 и 10 общий наибольший делитель равен 5. Буква a есть в обоих членах в степенях 3 и 2, а буква b — в степенях 1 и 2.

1. Выбираем наименьшие общие степени: для a это a², для b — b.
2. Общий множитель равен 5a²b.
3. Делим первый член: 15a³b : 5a²b = 3a. Делим второй: −10a²b² : 5a²b = −2b.
4. Записываем результат: 5a²b(3a − 2b).

Ответ: 5a²b(3a − 2b). При проверке умножаем общий множитель на каждый член скобок. Получаем 15a³b и −10a²b², то есть возвращаемся к исходному выражению. Минус сохраняется во втором члене, потому что исходный второй член отрицательный.

Задача 3. Разложить на множители 4x(x − 3) − 7(x − 3). Здесь каждый член уже записан как произведение: первый содержит множитель x − 3, и второй содержит тот же множитель. Поэтому искать общие числовые коэффициенты или степени букв не требуется. Выносим повторяющееся выражение целиком.

1. Находим общий многочлен-множитель: x − 3.
2. Делим первый член на x − 3, остаётся 4x; после деления второго остаётся −7.
3. Записываем результат: (x − 3)(4x − 7).
4. Проверяем раскрытием скобок: 4x(x − 3) − 7(x − 3), как в исходном выражении.

Ответ: (x − 3)(4x − 7). При раскрытии скобок множитель x − 3 умножается и на 4x, и на −7. Так восстанавливаются оба исходных члена. Знак минус перед вторым членом не теряется, а входит в выражение в скобках.

Типичные ошибки

Иногда выносят число, которое не делит коэффициенты всех членов. Такая ошибка возникает, если проверить только один коэффициент или выбрать удобное число на глаз. Перед записью результата разделите на предполагаемый множитель каждый коэффициент. Если хотя бы для одного деление не выполняется без остатка, это число выносить нельзя.

Другая ошибка — взять общую букву в степени большей, чем она встречается в одном из членов. Например, из a³ и a² нельзя вынести a³: второй член на него не делится. Обычно это происходит, когда смотрят только на первый член. Сравните степени буквы во всех членах и выберите наименьшую.

При делении на вынесенный множитель иногда неверно записывают остаток в скобках. Причина — попытка разделить всё выражение сразу, не проверяя каждый член отдельно. Выпишите деление каждого слагаемого и сохраните его знак. Затем умножьте каждый результат в скобках обратно на вынесенный множитель.

Если выносят множитель со знаком минус, но не меняют знаки всех слагаемых в скобках, равенство нарушается. Это случается, когда минус перед скобками воспринимают как знак только первого члена. При вынесении отрицательного множителя каждый член делится на него отдельно, поэтому знаки всех результатов меняются. Раскрытие скобок быстро показывает, верно ли учтён минус.

Связь с другими темами

Чтобы выносить общий множитель, нужно знать распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания. Оно объясняет, почему вынесение множителя работает как обратное раскрытию скобок. Также понадобятся правила действий с одночленами: умножение и деление чисел и степеней с одинаковыми буквами. Без этих правил трудно правильно найти остаток при делении на общий множитель.

Дальше этот приём помогает решать уравнения, упрощать выражения при сокращении дробей и продолжать разложение многочленов на множители. Представление в виде произведения часто делает заметными отдельные множители и связи между ними. Поэтому навык полезен не только для преобразования выражений, но и для следующих алгебраических тем.

Что запомнить

• Вынесение общего множителя — применение распределительного свойства в обратном направлении.
• Общий числовой множитель должен делить коэффициенты всех членов.
• В общую буквенную часть входят только общие переменные.
• Степень каждой общей переменной выбирают наименьшую из встречающихся.
• За скобки можно вынести общий многочлен-множитель.
• Правильность разложения проверяют раскрытием скобок.