"Алгебра. (в 2 частях)", Петерсон Л.Г., Агаханов Н.Х., Петрович А.Ю., Подлипский О.К., Рогатова М.В., Трушин Б.В.
Размещение — это выбор нескольких различных элементов, при котором важно, в каком порядке они расположены. Например, назначить старосту и заместителя — не то же самое, что просто выбрать двух учеников: роли различаются. Число размещений из n элементов по k обозначают Aₙᵏ и вычисляют по формуле Aₙᵏ = n!/(n−k)!, если 0 ≤ k ≤ n. Это помогает быстро считать варианты в задачах на выбор ролей, составление кодов и чисел.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Размещение из n элементов по k — упорядоченный выбор k различных элементов из множества, содержащего n элементов. Иными словами, мы выбираем не просто группу, а расставляем выбранные элементы по местам. Это определение помогает распознать задачи, в которых результат зависит от порядка.
Число размещений — количество всех возможных размещений из n элементов по k, обозначаемое Aₙᵏ. Индекс n показывает, сколько элементов было в исходном множестве, а верхний индекс k — сколько из них выбрали. Обозначение нужно, чтобы кратко записывать количество вариантов и сравнивать разные выборки.
Факториал числа n — произведение всех натуральных чисел от 1 до n, обозначаемое n!. Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Факториал позволяет записывать произведение нескольких последовательных чисел компактно, поэтому с его помощью удобно выражать число размещений.
Размещения без повторений — размещения, в которых каждый выбранный элемент встречается не более одного раза. Например, одного ученика нельзя поставить сразу на две разные должности. Это условие уменьшает число вариантов на следующих шагах выбора и отличает размещения без повторений от выбора с разрешённым повтором.
В размещении важны одновременно состав выбранных элементов и порядок их расположения. Если выбрать учеников Аню и Борю для должностей старосты и заместителя, распределение Аня — староста, Боря — заместитель отличается от распределения наоборот. При этом сама пара учеников осталась той же, но результат изменился из-за назначения на разные места. Поэтому одного подсчёта возможных групп недостаточно: нужно учитывать каждую расстановку.
Формулу можно получить, заполняя места по очереди. На первое место можно поставить любого из n элементов. Для второго остаётся n−1 вариант, потому что уже использованный элемент нельзя выбрать снова; для третьего остаётся n−2, и так далее. По правилу умножения перемножаем количество вариантов на каждом шаге: Aₙᵏ = n(n−1)…(n−k+1).
Факториал помогает переписать это произведение в коротком виде. В n! входят множители от n до 1, а в произведении для размещений нужны только первые k множителей: n, n−1, …, n−k+1. Если разделить n! на (n−k)!, все лишние множители от n−k до 1 сократятся. Поэтому Aₙᵏ = n!/(n−k)!, причём формула имеет смысл при 0 ≤ k ≤ n: нельзя выбрать больше различных элементов, чем есть в множестве.
Размещения также напрямую связаны с правилом умножения: каждый следующий выбор зависит от того, какие элементы уже заняты. Для каждого возможного выбора на первом месте рассматривают все допустимые варианты второго, затем — третьего; общее количество получается умножением числа вариантов на каждом шаге. Именно поэтому нельзя просто сложить n, n−1 и остальные числа: складывали бы варианты разных шагов, а не считали целые последовательности.
Если k = n, выбираются и упорядочиваются все элементы, поэтому получаются перестановки: Aₙⁿ = n!/(n−n)! = n!. Здесь 0! принимают равным 1. Если же k = 1, достаточно выбрать один элемент из n, и порядок не создаёт дополнительных вариантов: Aₙ¹ = n. Эти частные случаи помогают проверить, подходит ли формула к конкретной ситуации.
| Характеристика | Запись или значение | Смысл |
|---|---|---|
| Количество исходных элементов | n | Размер множества, из которого выбирают |
| Количество выбранных элементов | k | Длина упорядоченной выборки |
| Условие существования | 0 ≤ k ≤ n | Нельзя выбрать больше элементов, чем имеется |
| Формула числа размещений | Aₙᵏ = n!/(n−k)! | Произведение n(n−1)…(n−k+1) |
| Частный случай при k = 1 | Aₙ¹ = n | Выбирается один элемент |
| Частный случай при k = n | Aₙⁿ = n! | Все элементы выстраиваются в определённом порядке |
Сначала определите, сколько элементов доступно: это n, а число мест или ролей обозначьте k. Затем проверьте условие k ≤ n и подставьте значения в формулу или перемножьте последовательные множители. Частные случаи в таблице пригодятся для быстрой проверки ответа.
Из пяти учеников нужно выбрать старосту и его заместителя. Здесь n = 5, а k = 2, но главное — понять, что должности разные: перестановка назначений меняет результат. Значит, считаем размещения без повторений.
Ответ: 20 способов. Проверка здравого смысла: каждый ученик может стать старостой, и для каждого такого выбора остаются четыре возможных заместителя.
Нужно найти натуральное значение n, при котором число размещений из n элементов по два равно 42. Подставим k = 2 в формулу: Aₙ² = n(n−1). Ограничение n ≥ 2 следует из условия 2 ≤ n.
Ответ: n = 7. Подстановка даёт 7 · 6 = 42, поэтому найденное натуральное значение подходит.
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляют трёхзначные числа с различными цифрами, причём число должно быть нечётным. Нечётность зависит от последней цифры, поэтому сначала выберем её: подходят 1, 3 или 5. После этого остаются четыре цифры для сотен и три для десятков.
Ответ: 36 чисел. Здесь можно рассматривать три одинаковых по устройству случая для последней цифры: набор доступных вариантов на сотни и десятки каждый раз имеет размеры 4 и 3.
Подмена размещений сочетаниями возникает, когда считают только набор элементов и забывают, что места или роли различаются. Например, пара «староста и заместитель» даёт два порядка назначений, а сочетание считает эту пару один раз. Перед выбором формулы спросите себя, изменится ли результат при перестановке выбранных элементов; если да, порядок важен.
Иногда вместо числа размещений записывают nᵏ, как будто для каждого места всегда доступно n вариантов. Так разрешают повторно выбирать уже использованный элемент, хотя в размещениях без повторений это запрещено. Проверьте, уменьшается ли число доступных вариантов после каждого выбора: если уменьшается, используйте n(n−1)… или Aₙᵏ.
В формуле Aₙᵏ = n!/(n−k)! можно ошибиться в знаменателе или применить её при k > n. Знаменатель должен быть именно (n−k)!, поскольку сокращаются неиспользованные множители факториала n!. Для проверки убедитесь, что n−k неотрицательно, а при небольших значениях раскройте факториалы и сравните результат с произведением n(n−1)…(n−k+1).
Ещё одна ошибка — перепутать Aₙᵏ и Aₖⁿ. В первом случае из n доступных элементов выбирают k, а во втором обозначение описывало бы другую задачу с переставленными ролями чисел. До подстановки подпишите, что означает каждое число: n — весь набор, k — количество мест. Если мест больше, чем элементов, размещение без повторений невозможно.
Для подсчёта размещений нужны правило умножения и понимание факториала: первое позволяет посчитать последовательные шаги, второе — компактно записать произведение. Сравнение размещений с перестановками и сочетаниями помогает выбирать нужную модель: учитываем ли мы порядок и берём ли все элементы. Этот выбор особенно важен в задачах на вероятность, где сначала считают подходящие варианты, а также при подсчёте кодов, расписаний и распределении ролей.
Почему выбор старосты и заместителя является размещением, а не сочетанием?
Потому что должности различаются: назначить Аню старостой, а Борю заместителем — не то же самое, что поменять их местами. Значит, важны и выбранные ученики, и порядок их распределения по ролям.
Можно ли в размещении использовать один и тот же элемент несколько раз?
В размещении без повторений — нельзя: каждый элемент выбирают не более одного раза. Если повторения разрешены, это уже другой тип подсчёта, и при заполнении каждого из k мест обычно используют правило умножения с n вариантами.
Что делать, если k больше n?
Размещение без повторений составить нельзя: для k мест не хватит n различных элементов. Формулу Aₙᵏ = n!/(n−k)! при k > n не применяют.
Как понять, какую формулу — Aₙᵏ или nᵏ — нужно применять?
Если порядок важен, а элементы нельзя повторять, используйте Aₙᵏ. Выражение nᵏ подходит для последовательного выбора, когда на каждом месте остаётся n вариантов, то есть повторения разрешены.
Чем размещения отличаются от перестановок?
В размещении выбирают k элементов из n и упорядочивают их, а в перестановке упорядочивают все n элементов. Поэтому перестановки — частный случай размещений при k = n, и их число равно n!.
1.2.2. Размещения
