2. Гипотеза Планка

Определения и обозначения

Гипотеза Планка — предположение, что энергия излучающего или поглощающего атомного осциллятора меняется не непрерывно, а отдельными порциями. Осциллятор — модель атомной системы, совершающей колебания; она нужна, чтобы описывать обмен энергией между веществом и излучением.

Квант энергии — наименьшая порция, которую осциллятор данной частоты может излучить или поглотить; её величина равна hν. Эта формула помогает определить размер энергетического шага и показывает, что он зависит от частоты колебаний.

Постоянная Планка — фундаментальная постоянная h, связывающая энергию кванта с частотой: E = hν. Её численное значение приблизительно равно 6,63·10⁻³⁴ Дж·с; с её помощью частоту можно перевести в энергию порции.

Тепловое излучение — электромагнитное излучение тела, обусловленное его внутренней энергией и зависящее от температуры. Изучение его спектра, то есть распределения излучения по частотам, стало задачей, для решения которой Планк предложил квантовую гипотезу.

Как это устроено

Нагретое тело излучает электромагнитные волны разных частот, а физиков интересовало, как энергия распределяется между ними. Классические расчёты не давали правильной картины спектра: при попытке учитывать всё более высокие частоты модель предсказывала неограниченный рост излучаемой энергии. Это противоречило наблюдениям и означало, что самого предположения о непрерывном обмене энергией недостаточно.

Планк связал излучение тела с множеством осцилляторов, которые могут взаимодействовать с электромагнитными волнами. Частота ν каждого осциллятора определяет частоту связанного с ним излучения. Планк предположил, что такой осциллятор не обменивается энергией как угодно, а принимает или отдаёт порции размером hν. Поэтому осцилляторы разных частот обмениваются порциями разного размера.

Если энергия осциллятора состоит из целого числа таких порций, она записывается как Eₙ = nhν. Здесь n — целое неотрицательное число, а индекс n указывает энергетический уровень; при n = 0 энергия в этой модели равна нулю. Например, уровни с n = 1 и n = 2 имеют энергии hν и 2hν. Между ними нельзя выбрать произвольное промежуточное значение: допустимые значения задаются самой гипотезой.

Из квантования следует, что осциллятор не может обменяться сколь угодно малой долей энергии. При переходе между соседними уровнями он отдаёт или получает порцию hν, а при переходе через несколько уровней — несколько таких порций. Это не означает, что размер кванта одинаков для всех осцилляторов: он зависит от частоты конкретного осциллятора.

Ограничение на допустимые энергии изменило расчёт того, как осцилляторы излучают и поглощают энергию. Полученное Планком описание согласовалось с распределением энергии в спектре теплового излучения, в отличие от классического предсказания. Предположение о порционном обмене стало началом квантовой физики — раздела физики, изучающего явления, где энергия и другие величины проявляются дискретно.

Классическое представление об энергии осциллятора и гипотеза Планка

Сравнивайте столбцы по строкам: так видно, какое именно классическое предположение заменяет гипотеза Планка. Формулы в правом столбце показывают и разрешённые энергии, и величину шага между соседними уровнями. Таблица также напоминает, что квантование относится к обмену энергией осциллятора, а не к утверждению о любом излучении без исключений.

Разбор задач

Энергия кванта по частоте

Найдите энергию кванта излучения частотой 5,0·10¹⁴ Гц, если h = 6,63·10⁻³⁴ Дж·с. Искомая величина — энергия одной порции, поэтому полная энергия осциллятора здесь не требуется. Используем связь E = hν, в которой частота умножается на постоянную Планка.

1. Запишем данные: ν = 5,0·10¹⁴ Гц, h = 6,63·10⁻³⁴ Дж·с.
2. Подставим значения: E = 6,63·10⁻³⁴ · 5,0·10¹⁴ = 33,15·10⁻²⁰ Дж.
3. Приведём число к стандартной записи: E = 3,315·10⁻¹⁹ Дж, или примерно 3,3·10⁻¹⁹ Дж. Единицы согласованы: Дж·с умножить на Гц, то есть с⁻¹, даёт джоули.

Ответ: энергия кванта приблизительно равна 3,3·10⁻¹⁹ Дж. При увеличении частоты в несколько раз энергия кванта увеличилась бы во столько же раз, поскольку в формуле E = hν частота входит линейно.

Номер уровня и энергия осциллятора

Осциллятор частоты ν имеет энергию E = 4hν. Нужно определить номер уровня и выразить энергию в джоулях при заданных h и ν. Здесь важно сопоставлять полную энергию осциллятора с формулой Eₙ = nhν, а не принимать hν за всю энергию.

1. Сравним выражения E = 4hν и Eₙ = nhν. Коэффициент перед hν равен 4, поэтому n = 4.
2. Для перевода в джоули подставим значения h и ν: E = 4 · h · ν. Например, если заданы h = 6,63·10⁻³⁴ Дж·с и ν = 5,0·10¹⁴ Гц, то E = 4 · 6,63·10⁻³⁴ · 5,0·10¹⁴ = 1,326·10⁻¹⁸ Дж.
3. Проверим смысл результата: n — целое неотрицательное число, а вычисленная энергия равна четырём квантам выбранной частоты.

Ответ: номер уровня n = 4; при приведённых значениях h и ν энергия равна 1,33·10⁻¹⁸ Дж. Если в задаче заданы другие h и ν, подставьте их в E = 4hν: без численных значений частоты энергию в джоулях однозначно не найти.

Переход между уровнями

Осциллятор переходит с уровня E₅ = 5hν на уровень E₂ = 2hν. Нужно определить энергию и частоту испущенного фотона. При излучении осциллятор теряет энергию, поэтому фотон получает разность между начальным и конечным уровнями.

1. Вычислим разность: ΔE = E₅ − E₂ = 5hν − 2hν = 3hν.
2. По закону сохранения энергии при испускании фотона его энергия равна потере осциллятора: Eфотона = ΔE.
3. Для самого фотона Eфотона = hνфотона. Следовательно, hνфотона = 3hν, и после сокращения h получаем νфотона = 3ν.

Ответ: энергия фотона равна 3hν, а его частота — 3ν. Численно выразить энергию в джоулях можно, если известны значения h и частоты осциллятора ν; полученная частота фотона втрое больше частоты осциллятора.

Типичные ошибки

• Считать hν энергией любого осциллятора. Так путают одну порцию с полной энергией системы; проверьте себя формулой Eₙ = nhν и подставьте номер уровня.

• Допускать любое промежуточное значение энергии. Обычно это происходит из привычки к классическому непрерывному изменению; сверьте возможное значение с условием, что n — целое неотрицательное число.

• Путать частоту ν с энергией кванта. Их смешивают, потому что формула содержит обе величины; проверьте размерность: ν измеряется в герцах, а hν — в джоулях.

• Считать, что любое излучение всегда испускается только целыми порциями независимо от ситуации. Гипотеза описывает обмен энергией осцилляторов с излучением; проверяя рассуждение, укажите, к какой системе относится квантование и что именно обменивается энергией.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны знания о связи частоты и периода колебаний: ν = 1/T. Также следует уметь работать с формулой E = hν и единицами частоты электромагнитного излучения; произведение Дж·с на Гц даёт джоули.

Гипотеза Планка подготавливает изучение фотонов — квантов электромагнитного излучения, а затем фотоэффекта. В этих темах квантовые свойства света проявляются в опытах и позволяют связывать энергию излучения с частотой.

Что запомнить

• Планк предложил гипотезу для объяснения спектра теплового излучения.
• Энергия кванта равна E = hν.
• Чем больше частота, тем больше энергия кванта.
• Энергия осциллятора принимает значения Eₙ = nhν.
• Номер уровня n — целое неотрицательное число.
• Постоянная Планка h задаёт масштаб квантовых явлений.