1. Гипотеза Планка

Определения и обозначения

Гипотеза Планка — предположение о том, что вещество излучает и поглощает энергию отдельными порциями, а не непрерывно. Оно нужно, чтобы описывать обмен энергией между веществом и излучением в тех случаях, когда классические представления не совпадают с экспериментом.

Квант энергии — минимальная порция энергии, которую осциллятор заданной частоты может излучить или поглотить. Осциллятором здесь называют модель частицы или системы, способной колебаться с определённой частотой. Представление о квантовой порции позволяет понять, почему энергия такой системы меняется не как угодно, а определёнными шагами.

Энергия кванта определяется формулой E = hν, где ν — частота излучения, а E — энергия одной порции. Формула нужна, чтобы вычислить энергию кванта и сравнить излучение разных частот. Частота измеряется в герцах, а энергия — в джоулях.

Постоянная Планка — фундаментальная постоянная h, связывающая энергию кванта с частотой. Её значение приблизительно равно 6,63·10⁻³⁴ Дж·с. Постоянная задаёт масштаб квантовых эффектов: для одинаковой частоты именно h определяет, какой энергией обладает одна порция излучения.

Как это устроено

Нагретое тело излучает электромагнитные волны с разными частотами, а измерения показывают, как энергия распределена между ними. Классическое описание предполагало, что осцилляторы вещества могут непрерывно обмениваться энергией и принимать любые её значения. При расчёте спектра это приводило к распределению, не совпадающему с экспериментом, особенно в области высоких частот. Значит, исходное предположение о непрерывном обмене не описывало реальное поведение вещества.

Чтобы согласовать теорию с опытом, Планк предположил, что осциллятор излучает или поглощает энергию порциями по hν. Здесь ν — частота колебаний осциллятора, а h — постоянная Планка. Если система отдаёт энергию, она теряет одну или несколько таких порций; при поглощении получает целое число порций. Поэтому изменение энергии происходит не плавно, а отдельными шагами.

Из этого предположения следует, что энергия осциллятора может принимать значения Eₙ = nhν, где n — целое неотрицательное число. При n = 0 энергия равна нулю, при n = 1 — одной порции, при n = 2 — двум порциям и так далее. Например, значение между hν и 2hν в этой модели не является разрешённым. Такой набор отдельных допустимых значений называют дискретным.

Энергия одного кванта прямо пропорциональна частоте: E = hν. Если частота возрастает в два раза, энергия каждого кванта тоже становится в два раза больше; если частота уменьшается, уменьшается и энергия порции. Поэтому высокочастотное излучение состоит из более энергичных квантов, чем низкочастотное. При этом речь идёт об энергии отдельного кванта, а не обязательно о полной энергии всего излучения.

Допущение о квантовых порциях меняет расчёт того, как осцилляторы обмениваются энергией с излучением. На высоких частотах энергия одного кванта велика, поэтому осциллятору труднее получить даже первую порцию; такие частоты вносят в излучение не так много энергии, как предсказывала классическая модель. Полученное распределение согласуется с наблюдаемым спектром теплового излучения. Гипотеза Планка тем самым помогла решить важную задачу и стала началом квантовой физики.

Сравнение классического и квантового представлений об энергии излучения

Сравнивай модели по каждой строке: так видна разница между непрерывным обменом и передачей порциями. Если в задаче спрашивают энергию одного кванта, используй E = hν; для нескольких квантов учитывай их число. Строка о физическом результате показывает, почему потребовалась новая гипотеза.

Разбор задач

Энергия одного кванта

Определить энергию кванта излучения с частотой 6,0·10¹⁴ Гц. Используем постоянную Планка h = 6,63·10⁻³⁴ Дж·с. Нужно найти энергию одной порции, поэтому дополнительный множитель, учитывающий число квантов, не нужен.

1. Записываем формулу энергии одного кванта: E = hν.
2. Подставляем данные: E = 6,63·10⁻³⁴ Дж·с · 6,0·10¹⁴ с⁻¹.
3. Перемножаем числа и степени десяти: E = 39,78·10⁻²⁰ Дж = 3,978·10⁻¹⁹ Дж.
4. Округляем результат до двух значащих цифр, поскольку так записана частота: E ≈ 4,0·10⁻¹⁹ Дж.

При проверке единиц получаем Дж·с · с⁻¹ = Дж, то есть единицу энергии. Ответ: энергия одного кванта равна приблизительно 4,0·10⁻¹⁹ Дж.

Сравнение квантов красного и фиолетового света

Частота фиолетового света в два раза больше частоты красного. Требуется сравнить энергию одного кванта каждого цвета, не зная конкретных значений частоты. Поскольку в условии задано только отношение частот, достаточно сравнить выражения для энергий.

1. Обозначаем частоту красного света через νкр, тогда частота фиолетового равна νф = 2νкр.
2. Записываем энергии квантов по формуле Планка: Eкр = hνкр и Eф = hνф.
3. Подставляем отношение частот: Eф = h · 2νкр = 2hνкр = 2Eкр.
4. Делаем вывод о сравнении: квант фиолетового света обладает вдвое большей энергией.

Постоянная Планка одинакова для обоих видов света, поэтому отношение энергий равно отношению частот. Ответ: Eф/Eкр = 2.

Число поглощённых квантов

Пусть осциллятор поглотил энергию 1,2·10⁻¹⁸ Дж при частоте излучения 6,0·10¹⁴ Гц. Найти число поглощённых квантов. Сначала вычислим энергию одной порции, а затем разделим на неё всю полученную энергию.

1. Находим энергию одного кванта: ε = hν = 6,63·10⁻³⁴ · 6,0·10¹⁴ Дж = 3,978·10⁻¹⁹ Дж.
2. Связываем полную энергию с числом порций: Eобщ = Nε = Nhν.
3. Выражаем число квантов: N = Eобщ/ε = (1,2·10⁻¹⁸)/(3,978·10⁻¹⁹) ≈ 3,0.
4. Проверяем, что полученное число соответствует целому числу порций; округление связано с точностью исходных данных.

Ответ: осциллятор поглотил примерно 3 кванта. Если при точных исходных данных вычисляется нецелое N, проверь единицы, подстановку и округление: в модели Планка число переданных квантов целое.

Типичные ошибки

• Записывают E = h/ν вместо E = hν. Так путают прямую пропорциональность с обратной, хотя из формулы Планка следует: при большей частоте квант энергичнее. Проверь себя по единицам: h/ν даёт Дж·с², а не джоули; в произведении hν единицы превращаются в Дж.
• Считают, что энергия кванта зависит от амплитуды волны. Обычно амплитуда связывается с интенсивностью волны, поэтому эти понятия легко смешать. В гипотезе Планка энергию одной порции определяет частота; проверь расчёт, подставив в E = hν именно ν.
• Допускают передачу произвольной доли кванта. Это противоречит идее обмена отдельными порциями, хотя дробное число может получиться при округлении или ошибке вычислений. Проверь, что полная энергия равна N hν, а N — целое неотрицательное число.
• Путают энергию одного кванта hν с полной энергией Nhν. При нескольких порциях нужно умножить энергию одной на их количество, но в формуле для одного кванта множитель N не нужен. Перед вычислением уточни, что требуется найти, а затем проверь результат: энергия N одинаковых квантов должна быть в N раз больше энергии одного.

Связь с другими темами

Для работы с формулой E = hν нужны понятия частоты и длины волны электромагнитного излучения, а также связь c = λν. Полезно знать единицы частоты и энергии, чтобы правильно подставлять величины и проверять ответ. Тепловое излучение и свойства электромагнитных волн объясняют, какое явление пыталась описать гипотеза Планка. Позже квантовая идея пригодится при изучении фотоэффекта, фотонов, атомных спектров и модели атома.

Что запомнить

• Излучение и поглощение энергии происходят отдельными порциями.
• Энергия одного кванта равна E = hν.
• Постоянная Планка связывает энергию кванта с частотой.
• Чем больше частота, тем больше энергия одного кванта.
• Энергия осциллятора принимает значения Eₙ = nhν.
• Гипотеза Планка положила начало квантовой физике.