Погрешности измерений

Определения и обозначения

Измерение — это сравнение физической величины с принятой единицей с помощью измерительного прибора. Например, длину сравнивают с метром, а время — с секундой. Показание прибора не бывает бесконечно точным: результат ограничен устройством шкалы и условиями наблюдения. Поэтому число без оценки его точности описывает измерение не полностью.

Погрешность измерения — отклонение результата от истинного или принятого за истинное значения. Истинное значение обычно неизвестно: прибор не может иметь неограниченную точность, а на результат влияют и прибор, и наблюдатель, и окружающие условия. Погрешность позволяет указать диапазон, в котором, вероятно, находится измеряемая величина. Полностью точное измерение на практике недостижимо.

Абсолютная погрешность показывает возможный разброс результата в единицах измеряемой величины и обозначается Δx. Результат записывают в виде x = xизм ± Δx: например, длина может быть указана как 12,0 ± 0,1 см. Знак ± означает, что истинное значение оценивают в пределах от xизм − Δx до xизм + Δx. Эта запись сразу сообщает и измеренное значение, и границы его точности.

Относительная погрешность ε — отношение абсолютной погрешности к модулю измеренного значения: ε = Δx / |xизм|. Она показывает, какую долю от результата составляет возможная ошибка, и обычно выражается в процентах. В отличие от абсолютной погрешности, у неё нет единиц измерения. Благодаря этому можно сравнивать качество измерений величин разного масштаба.

Как это устроено

Погрешность указывают потому, что показание — лишь приближение к искомой величине. Например, если линейка размечена через миллиметр, записывать длину с точностью до тысячной доли миллиметра нет оснований. Погрешность ограничивает число значащих цифр: цифры, которые прибор не позволяет надёжно определить, создают ложное впечатление точности. Поэтому результат округляют так, чтобы его разрядность согласовывалась с оценкой Δx.

Систематическая погрешность возникает, когда причина ошибки действует сходным образом при каждом измерении. Например, неверно установленный ноль линейки может каждый раз завышать длину на одинаковую величину; результат смещается в одну сторону. Случайная погрешность меняется от попытки к попытке из-за небольших колебаний условий и неточности отсчёта. Поэтому отдельные результаты оказываются то выше, то ниже среднего.

Инструментальная погрешность связана с тем, что прибор не способен различать сколь угодно малые изменения. Для аналоговой шкалы сначала определяют цену деления, а затем часто берут половину этого значения как оценку ошибки отсчёта. Для прибора с указанным классом точности или паспортной погрешностью используют именно эти данные: они учитывают характеристики устройства надёжнее, чем одна только цена деления. У цифрового прибора ориентируются на паспорт и разряд дисплея.

Случайный разброс уменьшают серией повторных измерений. Для результатов x₁, x₂, … находят среднее арифметическое x̄ = (x₁ + x₂ + …) / n: положительные и отрицательные отклонения частично компенсируются. Разброс оценивают, например, по наибольшему отклонению результата от среднего или по половине размаха серии. Усреднение помогает оценить случайную составляющую, но не исправляет неверную шкалу или другую систематическую причину.

Относительная погрешность показывает не размер ошибки сам по себе, а её долю от измеряемого значения. Если Δx одинаково, то для небольшого объекта эта ошибка составляет большую долю, чем для крупного, поэтому точность измерения различается. Например, ошибка 1 см существенна при измерении длины 10 см, но мала для длины 10 м. Именно поэтому для сравнения качества измерений используют ε, а не только Δx.

Виды и способы оценки погрешностей измерений

Сначала определите, измерена ли величина непосредственно или вычислена по другим данным: от этого зависит способ оценки. Затем найдите абсолютную погрешность и, если нужно сравнить точность, вычислите относительную. Для косвенного измерения сначала оцените погрешность расчёта, а затем запишите итог вместе с Δx.

Разбор задач

Задача 1. По линейке с ценой деления 1 мм измерили длину карандаша: 17,4 см. Нужно записать результат с разумной оценкой погрешности и найти относительную погрешность. Для обычной аналоговой шкалы примем оценку ошибки равной половине цены деления. Переведём её в сантиметры, чтобы единицы результата и Δx совпадали.

1. Половина цены деления равна 0,5 мм, или 0,05 см.
2. Записываем результат: x = (17,40 ± 0,05) см. Ноль в конце значения показывает, что оно записано до того же разряда, что и погрешность.
3. Вычисляем ε = 0,05 / 17,40 ≈ 0,0029. В процентах это примерно 0,29%.

Ответ: (17,40 ± 0,05) см; относительная погрешность — около 0,29%. Здесь подразумевается, что линейка исправна и паспорт не задаёт другую оценку точности. Если производитель указал свою погрешность, следует использовать её вместо принятой оценки по половине деления.

Задача 2. Период маятника измерили пять раз: 1,98 с; 2,02 с; 2,00 с; 1,99 с; 2,01 с. Найдём среднее и оценим случайную погрешность по наибольшему отклонению результатов от среднего. Такой способ показывает масштаб разброса серии, а не точность секундомера во всех условиях.

1. Складываем результаты и делим сумму на 5: T̄ = (1,98 + 2,02 + 2,00 + 1,99 + 2,01) / 5 = 2,00 с.
2. Находим отклонения от среднего: 0,02; 0,02; 0; 0,01 и 0,01 с.
3. Наибольшее отклонение равно 0,02 с, поэтому оценка случайной погрешности по выбранному способу — ΔT ≈ 0,02 с.

Ответ: T = (2,00 ± 0,02) с. Среднее значение разумно записано до сотых долей секунды, как и погрешность. Если известна существенная инструментальная погрешность секундомера, её тоже нужно учитывать отдельно.

Задача 3. Сопротивление находят косвенно: U = (6,0 ± 0,1) В, I = (0,50 ± 0,02) А. По закону Ома R = U / I. При делении относительные погрешности складываем как оценку сверху; так мы получаем осторожную оценку, учитывающую неточность обоих измерений.

1. Вычисляем сопротивление: R = 6,0 / 0,50 = 12 Ом.
2. Находим относительные погрешности: εU = 0,1 / 6,0 ≈ 0,0167, εI = 0,02 / 0,50 = 0,04. Для частного εR ≈ εU + εI ≈ 0,0567, то есть примерно 5,7%.
3. Переводим её в абсолютную: ΔR ≈ 12 · 0,0567 ≈ 0,68 Ом. Округлим до 0,7 Ом, а значение R — до того же десятичного разряда.

Ответ: R ≈ (12,0 ± 0,7) Ом; относительная погрешность — около 5,7%. Это оценка сверху: правила распространения погрешностей могут уточняться в зависимости от принятого метода обработки. Важно не записывать результат точнее, чем позволяют исходные измерения.

Типичные ошибки

Записывать показание без погрешности — значит принимать деления шкалы за абсолютно точные значения. Так делают, потому что цифры на дисплее или шкале выглядят однозначными, хотя прибор имеет ограничения. Проверьте себя: можете ли вы указать, насколько результат способен отличаться от истинного? Если нет, точность измерения ещё не оценена.

Абсолютную и относительную погрешности иногда путают: например, указывают Δx в процентах, а ε — в сантиметрах. Причина в том, что обе величины описывают точность, но делают это по-разному. Проверка проста: у абсолютной погрешности должны быть единицы измеряемой величины, у относительной — единиц нет. Перевод в проценты относится только к относительной погрешности.

Лишние значащие цифры создают видимость точности, которой измерение не обеспечивает. Например, при Δx = 0,1 см запись 17,438 см не оправдана: прибор не позволяет установить все эти цифры. Сверьте последний разряд результата с разрядом погрешности и округлите значение. Обычно погрешность округляют до одной-двух значащих цифр, а результат — до того же разряда.

Повторные измерения уменьшают случайный разброс, но не обязательно исправляют систематическую ошибку. Если линейка каждый раз завышает результат из-за смещённого нуля, среднее значение тоже окажется завышенным. Не считайте большое число повторов гарантией точности: сначала проверьте прибор и условия опыта. Для самопроверки спросите, может ли одна и та же причина одинаково смещать каждый результат.

Связь с другими темами

Для оценки точности нужны знания единиц физических величин, цены деления шкалы, округления и значащих цифр. Эти навыки применяют при оформлении лабораторных работ: измерения нужно не только записать, но и обработать. Погрешности косвенных измерений учитывают, когда искомую величину вычисляют по нескольким показаниям приборов. Такая оценка нужна и при проверке физических законов: без неё нельзя понять, согласуются ли экспериментальные данные с расчётом.

Что запомнить

• Результат измерения имеет смысл только вместе с оценкой его погрешности.
• Абсолютная погрешность имеет те же единицы, что и измеряемая величина.
• Относительная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к результату измерения.
• Систематическая погрешность смещает результаты, а случайная вызывает их разброс.
• Повторные измерения и усреднение уменьшают влияние случайной погрешности.
• Число значащих цифр результата не должно быть больше, чем позволяет его погрешность.