"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Погрешность измерения показывает, насколько полученный результат может отличаться от истинного значения физической величины. Абсолютную погрешность выражают в единицах измеряемой величины, а относительную — в долях или процентах. Погрешности появляются из-за ограниченной точности приборов, метода и условий опыта. Повторные измерения помогают уменьшить случайную составляющую, но не устраняют постоянное смещение результата.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Погрешность измерения — отклонение измеренного значения величины от её истинного значения. Абсолютно точное измерение практически недостижимо: приборы имеют ограниченную чувствительность, а условия опыта и действия человека нельзя контролировать идеально. Поэтому результат записывают вместе с оценкой возможного отклонения.
Абсолютная погрешность Δx — величина возможного отклонения результата, выраженная в тех же единицах, что и измеряемая величина x. Например, запись x = 17,3 см ± 0,1 см означает, что ошибка не должна превышать примерно 0,1 см. Такая запись показывает границы доверия к числу.
Относительная погрешность δ — отношение абсолютной погрешности к измеренному или принятому за истинное значению: δ = Δx / x. В процентах её записывают так: δ% = Δx / x · 100%. Она позволяет сравнивать точность измерений разных величин и разных масштабов.
Систематическая погрешность повторяется примерно одинаково и закономерно смещает результат, а случайная меняется от опыта к опыту непредсказуемым образом. Первая связана, например, с неверной настройкой прибора, вторая — с колебаниями условий измерения. Различие нужно знать, чтобы выбрать правильный способ уменьшения ошибки.
Погрешность возникает из-за ограниченной точности прибора, несовершенства метода, условий эксперимента и действий наблюдателя. Шкала не позволяет считывать бесконечно много знаков, а измерительный прибор может быть откалиброван неидеально. Даже правильная методика даёт результат с некоторой неопределённостью.
Систематическая погрешность повторяется примерно одинаково, потому что её причина сохраняется от опыта к опыту. Усреднение в таком случае не помогает: все результаты смещены в одну сторону почти на одну и ту же величину. Погрешность выявляют сравнением с эталоном, контрольным прибором или независимым методом, после чего вводят поправку либо меняют методику.
Случайная погрешность меняется при каждом повторении из-за небольших и неуправляемых изменений условий. Одни результаты оказываются немного больше, другие — меньше истинного значения, поэтому их отклонения частично компенсируются. Серия измерений позволяет найти среднее арифметическое и оценить разброс, например по наибольшему отклонению от среднего.
Для однократного измерения погрешность обычно связывают с ценой деления или паспортной точностью прибора. Если линейка имеет деления через 1 мм, нельзя обоснованно указывать длину с точностью до тысячных долей миллиметра. Число значащих цифр в результате должно соответствовать оценённой погрешности.
При косвенном измерении искомую величину находят по формуле через непосредственно измеренные величины, поэтому их ошибки переходят в итог. Например, для плотности ρ = m / V относительная погрешность примерно равна сумме относительных погрешностей массы и объёма: δρ ≈ δm + δV. Значит, особенно точно нужно измерять ту величину, чья погрешность сильнее влияет на результат.
Таблица помогает сопоставить смысл разных погрешностей, способы их обнаружения и действия для уменьшения. При анализе опыта сначала определяют вид ошибки, затем выбирают подходящий способ оценки. Для косвенного результата отдельно проверяют все исходные измерения.
| Характеристика | Что означает | Как обнаружить или оценить | Как уменьшить |
|---|---|---|---|
| Абсолютная погрешность | Отличие результата от истинного значения в единицах измеряемой величины | По точности прибора, разбросу результатов или расчёту | Выбрать более точный прибор и улучшить методику |
| Относительная погрешность | Доля абсолютной погрешности в измеренном значении | Вычислить отношение абсолютной погрешности к результату и выразить в процентах | Уменьшить абсолютную погрешность или увеличить измеряемую величину в допустимых пределах |
| Систематическая погрешность | Одинаковое или закономерное смещение результатов | Проверить прибор по эталону, изменить метод измерения | Ввести поправку, откалибровать прибор или применить другой метод |
| Случайная погрешность | Непредсказуемое отклонение результатов при повторных измерениях | Повторить измерения и оценить разброс | Увеличить число измерений и найти среднее значение |
| Погрешность косвенного измерения | Неопределённость результата, вычисленного по другим измеренным величинам | Учесть погрешности исходных величин в формуле | Повысить точность наиболее существенно влияющих измерений |
Линейка имеет цену деления 1 мм, а длина карандаша получилась 17,3 см. Для однократного измерения возьмём разумную оценку абсолютной погрешности, равную половине миллиметра, то есть 0,05 см. Затем сравним эту погрешность с самой длиной.
Ответ: l = (17,30 ± 0,05) см, относительная погрешность примерно 0,29%. Если в конкретной лабораторной работе для линейки принимают погрешность, равную целой цене деления, результат следует записать с Δl = 0,1 см. Главное — согласовать правило оценки с условиями опыта.
Получены значения времени 1,21; 1,18; 1,20; 1,22 и 1,19 с. Разброс здесь случаен, поэтому сначала найдём среднее значение, а затем оценим характерное отклонение результатов от среднего. В качестве простой оценки возьмём половину размаха серии.
Ответ: t = (1,20 ± 0,02) с. Среднее значение лучше отдельного результата, потому что небольшие случайные отклонения частично компенсировались. Такая оценка не исправляет возможную систематическую ошибку секундомера.
Даны m = 240 г, Δm = 2 г, V = 80 см³ и ΔV = 2 см³. Плотность находим косвенно по формуле ρ = m / V, а затем складываем относительные погрешности исходных величин. Это приближённая школьная оценка для частного двух величин.
Ответ: ρ ≈ (3,0 ± 0,1) г/см³. Наибольший вклад даёт измерение объёма, поскольку его относительная погрешность больше. Поэтому улучшение измерения объёма сильнее повысит точность результата.
Абсолютную погрешность записывают без единиц или в единицах, отличных от результата. Так происходит, когда ученик воспринимает её как просто число и забывает о физическом смысле. Проверьте размерность: для длины нужна величина в метрах, сантиметрах или миллиметрах.
Абсолютную и относительную погрешности иногда путают. Первая показывает размер возможного отклонения, а вторая — его долю от результата и может быть выражена в процентах. Самопроверка проста: у Δx должны быть единицы величины, а у δ единиц нет.
Усреднение считают способом устранить любую погрешность. Оно уменьшает случайную составляющую, но не исправляет одинаковое смещение всех результатов из-за неисправного или неправильно настроенного прибора. Спросите себя, исчезнет ли ошибка, если каждое измерение увеличить на одну и ту же величину.
В ответе оставляют слишком много значащих цифр. Например, результат с погрешностью 0,1 см нельзя обоснованно записывать как 17,347 см. Сверьте последний знак результата с разрядом абсолютной погрешности и округлите число.
Для изучения погрешностей нужны единицы физических величин, округление, значащие цифры, среднее арифметическое и преобразование формул. Эти навыки позволяют правильно читать приборы и обрабатывать серию результатов.
Тема непосредственно используется в лабораторных работах: без оценки ошибки нельзя понять, насколько надёжен экспериментальный вывод. Она также нужна при сравнении измеренного значения с табличным или теоретическим.
Погрешности встречаются во всех разделах физики — в механике, электричестве и молекулярной физике. Особенно важны они при косвенных расчётах, когда итоговая величина определяется несколькими измерениями.
Почему нельзя получить абсолютно точное значение физической величины?
Любой прибор имеет ограниченную чувствительность и погрешность шкалы. Кроме того, на результат влияют метод измерения, условия опыта и действия наблюдателя, поэтому можно лишь оценить границы возможного отклонения.
Чем абсолютная погрешность отличается от относительной?
Абсолютная погрешность показывает возможное отклонение в единицах измеряемой величины. Относительная погрешность показывает, какую долю результата составляет это отклонение: δ = Δx / x, или δ · 100%.
Всегда ли повторение измерений уменьшает погрешность?
Повторение и усреднение обычно уменьшают случайную погрешность, поскольку отдельные отклонения частично компенсируют друг друга. Систематическая погрешность при этом сохраняется, если не обнаружить её причину.
Как определить погрешность по цене деления прибора?
Для простого однократного измерения погрешность часто оценивают как половину или одну цену деления — в зависимости от прибора и принятого правила. Точную оценку уточняют по паспорту прибора или условиям лабораторной работы.
Как учитывать погрешности при вычислении величины по формуле?
Сначала находят искомую величину по измеренным данным, затем оценивают вклад погрешностей этих данных. Для произведений и частных часто складывают относительные погрешности: δq ≈ δa + δb.
Погрешности измерений
