"Физика (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под ред. Орлова В.А.
Погрешность измерения показывает, насколько полученное значение может отличаться от истинного. Полностью точных измерений не бывает: на результат влияют прибор, условия опыта и действия человека. В теме разбирают абсолютную и относительную погрешности, систематические и случайные ошибки, правила повторных измерений и записи результата в виде x = (xизм ± Δx). Эти знания нужны для оценки точности эксперимента.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Измерение — это сравнение физической величины с принятой единицей с помощью измерительного прибора. Например, длину сравнивают с метром или сантиметром. Результат не бывает абсолютно точным, потому что прибор позволяет определить величину лишь с ограниченной точностью.
Результат измерения — числовое значение величины, записанное вместе с единицей и оценкой достигнутой точности. Обычно его представляют так: x = (xизм ± Δx). Такая запись сообщает не только найденное значение, но и границы возможного отклонения.
Абсолютная погрешность — оценка возможного отличия результата от истинного значения. Её обозначают Δx и выражают в тех же единицах, что и величину x. По ней решают, какие цифры результата действительно надёжны.
Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к измеренному значению: ε = Δx / xизм. Это безразмерная величина, которую можно записать в долях или процентах: ε% = ε · 100%. Она удобна для сравнения точности измерений разных по размеру величин.
Полностью точное измерение невозможно, потому что шкала прибора разделена на конечное число делений. Даже при аккуратном считывании нельзя уверенно определить значение между слишком близкими отметками. Дополнительные отклонения создают температура, вибрации, освещение и особенности действий экспериментатора.
По шкале сначала находят цену деления: разность значений соседних подписанных отметок делят на число промежутков между ними. Если специальных указаний нет, для простого аналогового прибора абсолютную погрешность часто оценивают как половину цены деления. Однако класс точности или паспорт прибора может задавать другую оценку, и тогда используют именно её.
Систематическая погрешность возникает по устойчивой причине: например, нулевая отметка прибора смещена или шкала проградуирована неточно. Поэтому при повторении опыта результат смещается примерно в одну и ту же сторону. Случайная погрешность вызывается меняющимися обстоятельствами, поэтому результаты колеблются то вверх, то вниз; серия измерений и среднее значение уменьшают её влияние, но не исправляют систематическую ошибку.
Итог записывают в форме x = (xизм ± Δx), где знак ± показывает возможный интервал отклонения. Если Δx = 0,1 см, измеренное значение записывают до десятых сантиметра, а не до тысячных. Число значащих цифр должно соответствовать погрешности: лишние цифры создают видимость точности, которой прибор не обеспечил.
Относительную погрешность вычисляют по формуле ε = Δx / xизм и при необходимости умножают на 100%. Чем меньше ε, тем точнее измерение относительно самой величины. Поэтому измерения длины, массы или времени можно сравнивать по относительной, а не только по абсолютной погрешности.
Таблица помогает различать погрешности по их происхождению и способу оценки. Абсолютная и относительная погрешности описывают точность результата, а систематическая и случайная — причины отклонений. При разборе опыта сначала определяют источник ошибки, затем выбирают способ её оценки.
| Характеристика | Систематическая погрешность | Случайная погрешность | Абсолютная погрешность | Относительная погрешность |
|---|---|---|---|---|
| Причина возникновения | Устойчивая причина: смещение нуля, неверная градуировка, постоянное влияние условий | Непредсказуемые изменения условий и отсчёта | Ограниченная точность прибора и метода измерения | Связь абсолютной погрешности с размером измеряемой величины |
| Изменение результата при повторных измерениях | Смещение примерно в одну сторону | Отклонения вверх и вниз | Оценивается для каждого результата или серии | Меняется вместе с абсолютной погрешностью и значением величины |
| Способ оценки или уменьшения | Проверить прибор, изменить метод или учесть поправку | Повторить измерения и найти среднее | По цене деления, классу точности или разбросу | Разделить Δx на xизм |
| Обозначение | Отдельно может обозначаться как Δсист | Отдельно может обозначаться как Δсл | Δx | ε или ε% |
| Единица измерения или форма записи | Единицы измеряемой величины | Единицы измеряемой величины | Те же единицы, что у x | Доля или проценты, без единицы |
| Роль при записи результата | Входит в общую оценку Δx | Входит в общую оценку Δx | Записывается рядом с xизм | Показывает относительную точность |
Условие: по линейке с ценой деления 1 мм длина карандаша получилась 14,6 см. Нужно учесть точность прибора. Примем для линейки погрешность, равную половине цены деления.
Ответ: длина карандаша равна (14,60 ± 0,05) см. Если в школьной работе погрешность линейки принимают равной целому делению, запись будет (14,6 ± 0,1) см; правило нужно выбрать заранее.
Условие: длину стола измерили три раза и получили 120,2 см, 120,4 см и 120,3 см. Оценим среднее значение и случайную погрешность по разбросу результатов, считая погрешность линейки равной 0,05 см.
Ответ: длина стола примерно равна (120,3 ± 0,1) см. Повторения показали устойчивое среднее, но точность всё равно ограничена разбросом и прибором.
Условие: стороны прямоугольной пластины равны a = (20,0 ± 0,1) см и b = (10,0 ± 0,1) см. Найдём площадь и её погрешности, используя правило для произведения.
Ответ: S = (200 ± 3) см². При произведении относительные погрешности сомножителей складываются, поэтому нельзя просто перенести одну погрешность длины на площадь.
Путают абсолютную и относительную погрешности: первая имеет единицы измеряемой величины, а вторая безразмерна. Ошибка появляется, когда смотрят только на формулу, не проверяя единицы; самопроверка проста — у Δx должны быть сантиметры, килограммы или секунды, а у ε единиц быть не должно.
Записывают слишком много значащих цифр, например результат до тысячных при линейке с миллиметровыми делениями. Так происходит из-за переноса цифр с калькулятора без учёта прибора. Сверьте разряд последней цифры результата с разрядом Δx.
Считают, что многократное повторение полностью устраняет погрешность. Повторения уменьшают только случайные колебания, тогда как смещённая шкала продолжает давать одну и ту же ошибку. Проверьте, не связана ли ошибка с нулём прибора или условиями опыта.
При косвенном измерении переносят погрешность без правила для действия. Для суммы используют абсолютные погрешности, а для произведения и частного обычно складывают относительные. Перед вычислением выпишите формулу искомой величины и выберите соответствующее правило.
До изучения темы нужны единицы физических величин, умение читать шкалу, находить цену деления и округлять числа. Погрешности постоянно применяют в лабораторных работах, когда результат нужно оформить, а не просто получить число. Позже эти понятия понадобятся для косвенных измерений, построения графиков экспериментальных данных и оценки точности физических законов.
Почему нельзя считать результат измерения абсолютно точным?
Любой прибор имеет ограниченную цену деления и собственную точность. Кроме того, на результат влияют условия опыта и действия экспериментатора, поэтому измерение всегда содержит некоторую неопределённость.
Как определить абсолютную погрешность по шкале прибора?
Сначала находят цену деления шкалы — разность между соседними подписанными значениями, делённую на число промежутков. Для простого прибора абсолютную погрешность часто принимают равной половине цены деления, но точнее нужно учитывать класс точности или данные паспорта прибора.
Зачем измерять одну и ту же величину несколько раз?
Повторные измерения позволяют заметить случайные отклонения и получить более надёжное среднее значение. Они уменьшают влияние случайной погрешности, но не устраняют постоянную ошибку прибора.
Чем относительная погрешность отличается от абсолютной?
Абсолютная погрешность показывает возможное отклонение в единицах измеряемой величины. Относительная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к измеренному значению, поэтому не имеет единиц и часто записывается в процентах.
Как записать результат измерения, чтобы не указать лишнюю точность?
Результат записывают так: x = (xизм ± Δx), причём разряд последней цифры xизм должен соответствовать разряду погрешности. Лишние знаки после запятой убирают округлением.
Погрешности измерений
