"Физика (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под ред. Орлова В.А.
Измерения помогают сравнивать физические величины с единицами, но их результат никогда не бывает абсолютно точным. На него влияют точность прибора, округление и условия опыта. Поэтому вместе с измеренным значением указывают погрешность — оценку возможного отклонения от истинного значения. Разберём, как находить цену деления, абсолютную и относительную погрешности, усреднять повторные результаты и правильно записывать ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Измерение — сравнение физической величины с однородной величиной, принятой за единицу. Например, длину сравнивают с метром или сантиметром, а время — с секундой. Измерение нужно, чтобы получить численное значение величины, а не только описать её словами.
Цена деления — значение наименьшего деления шкалы измерительного прибора. Её находят по двум подписанным отметкам и числу промежутков между ними. Эта величина показывает, насколько подробно прибор позволяет считывать результат.
Абсолютная погрешность — оценка отклонения результата измерения от истинного значения, записываемая в тех же единицах. Её обозначают, например, Δl или Δt. Она нужна, чтобы указать, в каких пределах результат может отличаться от настоящего значения.
Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к измеренному значению, обычно выраженное в процентах. Её можно вычислить по формуле δ = Δx / xизм · 100%. Она позволяет сравнивать точность измерений разных по величине объектов.
Результат любого измерения отличается от истинного значения, потому что прибор не бывает идеально точным. Его детали имеют ограничения, а шкала состоит из конечного числа делений. Кроме того, наблюдатель округляет показание, поэтому записанное число является приближённым.
Чтобы найти цену деления, выбирают две соседние подписанные отметки и вычитают из большего значения меньшее. Затем полученную разность делят на число промежутков между отметками, а не на число штрихов. Например, между 2 и 7 см находятся пять промежутков, поэтому цена деления равна (7 − 2) : 5 = 1 см.
Для одного измерения абсолютную погрешность часто принимают равной половине цены деления. Это связано с тем, что отсчёт округляют к ближайшему штриху: истинное положение указателя может быть немного левее или правее записанного. В простом случае возможное отклонение оценивают как Δx = ½ цены деления.
Результат записывают вместе с оценкой точности: x = (xизм ± Δx) единиц. Если длина получена как 14,6 см, а погрешность равна 0,05 см, запись будет иметь вид l = (14,60 ± 0,05) см. Число знаков после запятой согласуют, чтобы единицы разрядов у результата и погрешности совпадали.
Повторные измерения помогают уменьшить влияние случайных отклонений, возникающих из-за небольших изменений условий опыта. Сначала складывают результаты и делят сумму на их количество: xср = (x₁ + x₂ + … + xₙ) : n. Затем оценивают разброс, например как половину разности между максимальным и минимальным значениями, и сравнивают его с точностью прибора.
В таблице собраны основные величины, которые используют при оформлении измерений. Сначала определяют показание прибора и цену его деления, затем оценивают абсолютную и относительную погрешности. При нескольких опытах добавляют среднее значение и записывают итоговый результат.
| Характеристика | Обозначение | Как определить | Единица или способ записи |
|---|---|---|---|
| Измеренное значение | xизм | Снять показание прибора | Единицы измеряемой величины |
| Цена деления шкалы | c | (x₂ − x₁) : число промежутков | Единицы измеряемой величины |
| Абсолютная погрешность | Δx | Часто принять равной ½c | Те же единицы, что у x |
| Относительная погрешность | δ | Δx : xизм · 100% | Проценты |
| Среднее значение при повторных измерениях | xср | (x₁ + x₂ + … + xₙ) : n | Единицы измеряемой величины |
| Результат измерения | x | x = (xизм ± Δx) | Значение с абсолютной погрешностью |
Задача 1. По линейке с миллиметровыми делениями измерили длину карандаша: 14,6 см. Нужно записать результат с учётом погрешности. Поскольку миллиметр — это 0,1 см, сначала переводим цену деления в сантиметры.
Ответ: длина карандаша равна (14,60 ± 0,05) см. Ноль в записи 14,60 нужен, чтобы результат и погрешность имели одинаковое число знаков после запятой. Такая запись показывает не только длину, но и точность измерения.
Задача 2. Длину тела измерили линейкой и получили 25,0 см, абсолютная погрешность равна 0,05 см. Требуется найти относительную погрешность в процентах. Используем отношение погрешности к измеренному значению, потому что именно оно показывает долю ошибки.
Ответ: относительная погрешность равна 0,2%. Важно не менять местами числа: в числителе стоит абсолютная погрешность, а в знаменателе — измеренное значение. Чем меньше получившийся процент, тем меньше относительная неточность измерения.
Задача 3. Время одного движения измерили четыре раза: 2,4 с; 2,6 с; 2,5 с; 2,7 с. Найдём среднее значение и оценим случайную погрешность по разбросу. Затем сравним её с точностью прибора, если она известна.
Ответ: среднее значение равно 2,55 с, оценка погрешности по разбросу — 0,15 с. Если цена деления прибора требует большей погрешности, выбирают большую из оценок. Поэтому окончательная точность зависит и от разброса опытов, и от самого прибора.
Цена деления — не предел измерения. Предел показывает наибольшее значение, которое помещается на шкале, а цена деления относится только к одному промежутку. Проверьте себя: найдите разность соседних подписанных отметок и разделите её на число промежутков.
Абсолютную погрешность иногда записывают в процентах, хотя это неверно. Она должна иметь те же единицы, что и измеряемая величина: сантиметры, секунды или килограммы. Проценты относятся к относительной погрешности, поэтому проверьте обозначение и единицу ответа.
При вычислении относительной погрешности ученики меняют местами числитель и знаменатель. Правильная формула: δ = Δx : xизм · 100%, то есть сначала берут абсолютную погрешность, а затем делят её на результат. Если поменять дробь местами, получится число, обычно намного больше ста процентов, что служит сигналом ошибки.
Слишком много знаков после запятой создают видимость высокой точности. Прибор не позволяет надёжно определить лишние разряды, поэтому их нельзя приписывать к результату. Сверьте последний разряд измеренного значения с разрядом абсолютной погрешности.
До изучения погрешностей нужно уметь пользоваться единицами физических величин и читать шкалу прибора. Также пригодятся округление чисел и вычисление среднего арифметического. Эти навыки помогают не только получить число, но и правильно оформить его точность.
Понятия погрешности особенно нужны в лабораторных работах. При каждом опыте приходится выбирать прибор, снимать показания и записывать результат с указанием возможного отклонения. Без этого сравнение разных измерений было бы неполным.
Дальше эти знания используются при изучении экспериментальных методов, построении графиков и проверке физических законов. Погрешности помогают понять, насколько близки опытные данные к расчётным. Они также позволяют отличить реальную закономерность от случайного разброса.
Почему нельзя считать результат измерения абсолютно точным?
Любой прибор имеет ограниченную точность, а шкалу невозможно отсчитать бесконечно точно. Кроме того, на результат влияют округление показаний и условия проведения опыта.
Как быстро определить цену деления шкалы?
Возьмите две соседние подписанные отметки, найдите разность их значений и разделите её на число промежутков между отметками. Полученный результат показывает значение одного наименьшего деления.
Почему погрешность иногда берут равной половине цены деления?
Показание обычно округляют до ближайшего деления шкалы. Поэтому истинное значение может находиться примерно на половину деления выше или ниже записанного.
Чем абсолютная погрешность отличается от относительной?
Абсолютная погрешность показывает возможное отклонение в тех же единицах, что и измеряемая величина. Относительная погрешность показывает долю этого отклонения от результата и обычно выражается в процентах.
Зачем повторять одно и то же измерение несколько раз?
Повторения позволяют заметить случайные отклонения, которые меняют результат от опыта к опыту. Среднее значение обычно надёжнее отдельного показания, а разброс помогает оценить погрешность.
Погрешности измерений
