2. Второй закон Ньютона

Определения и обозначения

Второй закон Ньютона утверждает: в инерциальной системе отсчёта ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей сил и обратно пропорционально массе. Его векторная запись — ΣF = ma, где ΣF — сумма сил, m — масса, a — ускорение. Закон нужен, чтобы связывать действие сил с изменением движения и рассчитывать ускорение.

Равнодействующая сил — векторная сумма всех сил, действующих на тело. Силы складывают с учётом их направлений, поэтому результат может быть меньше отдельной силы или равен нулю. Эта величина нужна для описания совместного действия сил на выбранное тело.

Ньютон (Н) — единица силы в СИ: сила 1 Н сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с². Поэтому 1 Н = 1 кг·м/с². Эта связь помогает проверять единицы и переводить задачу к стандартным единицам измерения.

Масса в законе Ньютона служит мерой инертности тела — его способности сопротивляться изменению скорости. При одной и той же равнодействующей тело большей массы получает меньшее ускорение. Масса нужна, чтобы учесть, насколько трудно изменить движение данного тела.

Как это устроено

Почему закон учитывает равнодействующую, а не каждую силу по отдельности? Если сил несколько, они одновременно меняют движение одного тела, и нельзя рассматривать влияние только одной из них, забывая остальные. Векторное сложение показывает их общий эффект: например, силы противоположных направлений частично или полностью компенсируются. Поэтому в уравнение входит именно ΣF, а не произвольно выбранная сила.

Связь между силой, массой и ускорением следует из записи a = ΣF/m. Если масса остаётся той же, увеличение равнодействующей в несколько раз во столько же раз увеличивает ускорение. Если сила неизменна, увеличение массы уменьшает ускорение: тяжёлое тело разгоняется медленнее лёгкого. Сравнивая движение тел, необходимо менять только одну величину за раз, иначе нельзя определить, чем вызвано изменение ускорения.

Векторное равенство ΣF = ma задаёт не только численное значение ускорения, но и его направление. Масса — положительная скалярная величина, поэтому вектор a направлен так же, как ΣF. Это не означает, что ускорение всегда совпадает со скоростью: при торможении ускорение направлено против движения, потому что равнодействующая уменьшает скорость тела.

Чтобы применить закон к реальному телу, сначала выделяют тело, движение которого изучают. Затем изображают силы, действующие на него, и складывают их как векторы; удобные оси позволяют записать сумму отдельно для каждого направления. По горизонтали и вертикали уравнение имеет вид ΣFₓ = maₓ и ΣFᵧ = maᵧ. Такой порядок помогает не пропустить силу и не смешать направления.

Закон применим в инерциальных системах отсчёта — таких, где свободное тело покоится или движется равномерно и прямолинейно. Кроме того, все силы в сумме должны относиться к одному выбранному телу: нельзя складывать силу, действующую на брусок, с силой, действующей на стол. Если условие задачи не позволяет считать систему инерциальной, обычную запись закона нельзя применять без дополнительных поправок.

Связь равнодействующей, массы и ускорения

Сначала найдите строку, соответствующую условию задачи, и проследите, как меняется ускорение. Направление равнодействующей указывает направление ускорения, но не обязательно направление скорости. Сравнивая последние две строки, учитывайте, что в каждой из них неизменной оставляют одну величину.

Разбор задач

Сила 6 Н действует на тело массой 2 кг

На тело массой 2 кг действует горизонтальная сила 6 Н. Требуется найти ускорение. Считаем, что других сил с горизонтальными составляющими нет, поэтому горизонтальная равнодействующая равна приложенной силе. Выбираем направление силы за положительное.

1. Записываем второй закон Ньютона для горизонтального направления: ΣFₓ = maₓ.
2. Выражаем ускорение: aₓ = ΣFₓ/m.
3. Подставляем значения: aₓ = 6 Н/2 кг = 3 м/с².
4. Ускорение направлено по силе, так как она является равнодействующей.

Ответ: 3 м/с² по направлению горизонтальной силы.

Перпендикулярные силы 12 Н и 16 Н

На тело массой 5 кг действуют две взаимно перпендикулярные силы: 12 Н и 16 Н. Чтобы найти ускорение, сначала нужно объединить силы в равнодействующую, а не делить на массу каждую силу отдельно. Выберем оси вдоль этих сил; тогда составляющие равнодействующей равны 12 Н и 16 Н.

1. Находим модуль равнодействующей: ΣF = √(12² + 16²) Н = 20 Н.
2. Вычисляем модуль ускорения: a = ΣF/m = 20 Н/5 кг = 4 м/с².
3. Направление ускорения совпадает с направлением равнодействующей.
4. Угол равнодействующей к силе 12 Н: tg α = 16/12, поэтому α ≈ 53° в сторону силы 16 Н.

Ответ: 4 м/с²; направление образует угол примерно 53° с силой 12 Н в сторону силы 16 Н.

Брусок тянут силой под углом

Брусок массой 4 кг тянут по горизонтальной поверхности силой 20 Н под углом 30° к горизонту. Сила трения равна 5 Н; найти нужно ускорение бруска. Вертикальная составляющая тяги меняет нагрузку на опору, но ускорение по вертикали отсутствует. Поэтому для поиска горизонтального ускорения рассматриваем проекции только на горизонтальную ось.

1. Горизонтальная составляющая тяги равна Fₓ = 20 cos 30° ≈ 17,3 Н.
2. Трение направлено против движения, поэтому ΣFₓ = 17,3 − 5 = 12,3 Н.
3. По второму закону Ньютона aₓ = ΣFₓ/m = 12,3/4 ≈ 3,1 м/с².
4. Равнодействующая и ускорение направлены вдоль поверхности в сторону тяги.

Ответ: примерно 3,1 м/с².

Типичные ошибки

Подставлять в закон одну силу вместо равнодействующей — значит не учесть совместное действие остальных сил. Так ошибаются, когда складывают силы только по численным значениям и забывают их направления. Проверьте рисунок сил: противоположные силы должны вычитаться, а перпендикулярные нельзя складывать обычным арифметическим сложением.

Считать, что ускорение всегда направлено по скорости, неверно: скорость описывает движение, а ускорение — её изменение. Это заблуждение возникает, если воспринимать ускорение только как «разгон». Чтобы проверить направление, установите, какая сторона скорости увеличивается: при торможении ускорение направлено против скорости.

Нельзя включать в уравнение силу, действующую на другое тело. Ошибка появляется, когда забывают, что силы взаимодействия возникают парами, но приложены к разным телам. Выделите исследуемое тело и оставьте в сумме только силы, приложенные к нему; проверяйте каждую стрелку на схеме.

Масса в граммах или сила не в ньютонах нарушает согласованность единиц и даёт неправильный результат. Такое случается, если сразу подставлять числа из условия, не переводя их в СИ. Перед расчётом выразите массу в килограммах, силу — в ньютонах, а затем проверьте, что ускорение получилось в м/с².

Связь с другими темами

Для работы со вторым законом нужны понятия силы, массы, ускорения, векторов и инерциальной системы отсчёта. Каждое из них помогает правильно описать взаимодействие и движение тела. На основе закона решают задачи, где одновременно действуют несколько сил, например при трении, на наклонной плоскости и при движении связанных тел.

Закон служит основой динамики — раздела механики, который изучает движение под действием сил. В следующих темах его записывают для разных тел и направлений, чтобы получить уравнения движения более сложных систем. Поэтому умение выбирать тело и находить равнодействующую пригодится при дальнейшем изучении механики.

Что запомнить

• Второй закон Ньютона записывается векторно: ΣF = ma.
• Ускорение прямо пропорционально равнодействующей сил.
• Ускорение обратно пропорционально массе тела.
• Направление ускорения совпадает с направлением равнодействующей.
• В уравнение включают все силы, действующие на выбранное тело.
• Единица силы в СИ — ньютон: 1 Н = 1 кг·м/с².