3. Импульс силы

Определения и обозначения

Импульс силы — векторная величина, равная произведению постоянной силы на время её действия: I = FΔt. Здесь I обозначает импульс силы, F — силу, а Δt — промежуток времени. Эта величина нужна, чтобы учитывать не только силу, но и длительность её действия.

Изменение импульса тела — векторная разность конечного и начального импульсов: Δp = p₂ − p₁. Обозначения p₁ и p₂ относятся к импульсам тела до и после взаимодействия. Разность показывает, насколько и в какую сторону изменился импульс.

Средняя сила — постоянная сила, действие которой за выбранный промежуток времени эквивалентно действию переменной силы. Её обозначают Fср; она позволяет применять простую формулу I = FсрΔt, когда сила меняется. Это не обязательно сила, которая действительно всё время действовала на тело.

Теорема об импульсе силы утверждает: изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей силы, то есть Δp = I. Равнодействующая — общая сила, заменяющая совместное действие всех сил на тело. Теорема связывает воздействие на тело с результатом этого воздействия — изменением его движения.

Как это устроено

Сила изменяет скорость тела, а значит, и его импульс, но результат зависит не только от силы. Если одна и та же сила действует дольше, она успевает сильнее изменить скорость. Поэтому для описания воздействия учитывают и силу, и время её действия, объединяя их в импульс силы.

При постоянной силе второй закон Ньютона записывается как F = Δp/Δt, если рассматривается изменение импульса за промежуток времени. Умножим обе части на Δt: получим FΔt = Δp. Левая часть — импульс силы I, поэтому I = Δp; так формула описывает изменение импульса, а не просто величину воздействия отдельно от тела.

Импульс силы является вектором, потому что сила — вектор, а время — скалярная величина. Умножение вектора на положительный промежуток времени не меняет его направления, поэтому I направлен так же, как F. При расчётах по оси знак проекции показывает направление: например, отрицательный импульс соответствует воздействию против положительного направления оси.

В реальных взаимодействиях сила часто меняется: во время удара она может быстро нарастать и затем уменьшаться. Тогда на всём промежутке можно рассматривать среднюю силу, которая дала бы такое же изменение импульса. По теореме об импульсе вычисляют I = FсрΔt = Δp; при более подробном расчёте промежуток делят на малые части и складывают импульсы силы на них.

Удар, столкновение или отдача обычно продолжаются очень недолго, а сила при этом может быть большой. Описывать каждое мгновение взаимодействия сложно, зато часто известны начальная и конечная скорости тела. Теорема об импульсе позволяет найти итоговое действие силы по изменению импульса, не зная всех подробностей её изменения во времени.

Импульс силы и изменение импульса тела

Сначала выберите строку, которая соответствует условию: при постоянной силе используйте I = FΔt, а при переменной — среднюю силу. Для изменения импульса найдите конечный импульс и вычтите начальный, не забывая о направлениях. Единицы Н·с и кг·м/с равны, поэтому обе подходят для ответа.

Разбор задач

Задача 1. На тело массой 2 кг действует постоянная сила 6 Н в течение 3 с. Найдите импульс силы и изменение скорости тела, если начальная скорость равна нулю.

1. Вычислим импульс силы: I = FΔt = 6 Н · 3 с = 18 Н·с.
2. По теореме об импульсе Δp = I, значит изменение импульса равно 18 кг·м/с и направлено по силе.
3. Так как Δp = mΔv, изменение скорости равно Δv = 18/2 = 9 м/с. Начальная скорость нулевая, поэтому конечная скорость направлена по силе.

Ответ: импульс силы равен 18 Н·с, изменение скорости — 9 м/с по направлению силы.

Задача 2. Мяч массой 0,5 кг движется со скоростью 8 м/с и после удара о стену отскакивает со скоростью 6 м/с в противоположном направлении. Найдите импульс силы стены.

1. Направим положительную ось по начальной скорости мяча. Тогда v₁ = 8 м/с, а скорость после отскока v₂ = −6 м/с.
2. Найдём изменение импульса: Δp = mv₂ − mv₁ = 0,5 · (−6) − 0,5 · 8 = −7 кг·м/с.
3. По теореме об импульсе импульс силы стены равен изменению импульса. Минус означает, что он направлен против начального движения мяча.

Ответ: I = −7 Н·с относительно выбранной оси, то есть импульс направлен от стены, противоположно начальной скорости мяча.

Задача 3. При торможении автомобиля массой 1000 кг скорость уменьшилась с 20 до 5 м/с за 3 с. Определите среднюю силу сопротивления движению и её направление.

1. Выберем положительное направление по движению автомобиля. Тогда v₁ = 20 м/с, v₂ = 5 м/с, а Δp = m(v₂ − v₁).
2. Изменение импульса равно 1000 · (5 − 20) = −15 000 кг·м/с. Знак минус показывает, что импульс силы направлен против движения.
3. По теореме об импульсе FсрΔt = Δp, поэтому Fср = Δp/Δt = −15 000/3 = −5000 Н.

Ответ: средняя сила сопротивления равна 5000 Н по модулю и направлена против движения автомобиля.

Типичные ошибки

Подставляют в формулу только силу и забывают умножить её на время действия. Так происходит, когда формулу I = FΔt запоминают как связь с одной лишь силой. Проверьте подстановку: в ответе должны учитываться и ньютоны, и секунды, а единицей результата должен быть Н·с.

Считают импульс силы скаляром и не учитывают направление, особенно если тело отскакивает или тормозит. Тогда получают верное число, но ошибаются со знаком или направлением ответа. Выберите ось и обозначьте скорости и силы с учётом направления; отрицательная проекция означает направление против оси.

Путают импульс силы с импульсом тела: первый равен FΔt, второй — mv. Их названия похожи, а единицы измерения после преобразования совпадают, поэтому путаница кажется естественной. Проверяйте, о чём спрашивают: воздействие за время или состояние движения тела; в первом случае используют силу и время, во втором — массу и скорость.

Применяют I = FΔt к переменной силе, подставляя её значение в один произвольный момент. Формула для постоянной силы требует, чтобы сила не менялась; иначе результат не описывает всё воздействие. Уточните условие: при переменной силе берите среднюю силу за весь промежуток или складывайте импульсы на малых интервалах.

Связь с другими темами

Для работы с импульсом силы нужны второй закон Ньютона, импульс тела p = mv, векторное сложение и умение переводить единицы силы и времени. Без учёта направления нельзя правильно найти изменение импульса, особенно при отскоке или торможении. Поэтому сначала задают ось и проекции величин, а затем выполняют расчёт.

Тема помогает решать задачи об ударах, столкновениях, отдаче и торможении: во всех этих случаях силы действуют ограниченное время и изменяют скорость тел. Позже теорема об импульсе будет связана с законом сохранения импульса и механикой столкновений. Вместе эти идеи позволяют описывать взаимодействия системы тел.

Что запомнить

• Импульс силы характеризует действие силы за определённый промежуток времени.
• Для постоянной силы I = FΔt.
• Импульс силы — вектор; его направление совпадает с направлением силы.
• Единица импульса силы — Н·с, что эквивалентно кг·м/с.
• Изменение импульса тела равно импульсу равнодействующей силы.
• Для переменной силы используют среднюю силу или суммируют импульсы на малых интервалах времени.