§ 26. Условия применения закона сохранения импульса

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = m·v. Направление импульса совпадает с направлением скорости. Это позволяет учитывать не только «сколько» движения имеет тело, но и куда оно движется.

Система тел — выбранная совокупность тел, движение и взаимодействие которых рассматривают вместе. Для неё находят суммарный импульс как векторную сумму импульсов всех тел. От выбора системы зависит, какие силы будут считаться внутренними и какие — внешними.

Внешние силы — силы, с которыми на тела системы действуют тела, не входящие в неё. Например, для системы «мяч и Земля» сила со стороны руки может быть внешней, если рука в систему не включена. Именно внешний импульс может изменить суммарный импульс системы.

Замкнутая система — система, на которую внешние силы не действуют или их действие за рассматриваемое время пренебрежимо мало. В такой системе внутренние взаимодействия могут быть очень сильными. Понятие замкнутости нужно, чтобы обоснованно применять закон сохранения импульса.

Как это устроено

Суммарный импульс системы равен векторной сумме импульсов всех входящих в неё тел: P = p₁ + p₂ + … . Поэтому при выборе системы нужно сразу перечислить её тела и определить, какие взаимодействия считать внутренними. Если тело исключить из системы, сила с его стороны автоматически станет внешней и может изменить результат.

Внутренние силы возникают при взаимодействии тел системы и действуют попарно. По третьему закону Ньютона силы каждой пары равны по модулю и противоположны по направлению, поэтому соответствующие импульсы взаимно компенсируются. В результате внутренние силы способны перераспределять импульс между телами, но не меняют его сумму.

Изменение суммарного импульса определяется импульсом равнодействующей внешних сил: ΔP = Iвнеш. Это следует из второго закона Ньютона, применённого ко всем телам системы: внутренние силы сокращаются, а внешние остаются. Если Iвнеш = 0, то ΔP = 0 и Pпосле = Pдо.

Для закона не требуется полного отсутствия внешних сил. Достаточно, чтобы их импульс за выбранный промежуток времени был мал по сравнению с импульсами сил взаимодействия тел или с рассматриваемыми импульсами. Тогда изменение суммарного импульса настолько мало, что им можно пренебречь в рамках точности задачи.

При столкновениях и взрывах взаимодействие обычно длится очень короткое время. Даже заметная сила тяжести за такой промежуток сообщает телам небольшой импульс, тогда как силы удара или взрыва имеют большую величину. Поэтому систему приближённо считают замкнутой, но такое приближение нужно каждый раз обосновывать.

Условия применимости закона сохранения импульса

В таблице сначала определите, каков импульс равнодействующей внешних сил за выбранное время. Затем выберите строку, соответствующую ситуации, и сделайте вывод о суммарном импульсе. Если внешний импульс заметен, нужно учитывать его в уравнении, а не объявлять импульс сохраняющимся.

Разбор задач

Отталкивание двух тел

Условие. Два тела на гладкой горизонтальной поверхности отталкиваются друг от друга. Нужно определить, сохраняется ли суммарный импульс системы этих тел. Сопротивлением движению пренебрегаем.

1. Выбираем системой оба тела, поэтому силы их взаимодействия становятся внутренними.
2. По горизонтали внешних сил практически нет: поверхность гладкая, а силы тяжести и реакции опоры взаимно компенсируются по вертикали.
3. Импульс внешних сил равен нулю, значит, Pдо = Pпосле. Импульсы тел после отталкивания могут быть направлены в разные стороны, но их векторная сумма равна первоначальной.

Ответ: суммарный импульс системы сохраняется.

Столкновение тележки и бруска

Условие. Тележка сталкивается с неподвижным бруском, после чего они движутся вместе. Нужно выяснить, можно ли применять закон сохранения импульса во время столкновения. Удар считаем коротким, а поверхность — горизонтальной и гладкой.

1. В систему включаем тележку и брусок, поэтому сила удара между ними внутренняя.
2. За короткое время столкновения импульсы тяжести и реакции опоры по горизонтали не дают заметного изменения импульса системы.
3. Считаем систему замкнутой и записываем m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)u. Так как брусок покоится, v₂ = 0, а общая скорость после удара определяется сохранением суммарного импульса.

Ответ: закон можно применять приближённо, если внешний импульс за время удара мал.

Взрыв движущегося снаряда

Условие. Снаряд движется по неровной траектории под действием силы тяжести и взрывается. Нужно определить, сохраняется ли импульс системы осколков во время взрыва. Рассматривается короткий промежуток самого взрыва.

1. Системой выбираем все осколки, а силы между ними считаем внутренними и взаимно компенсирующимися в сумме.
2. Сила тяжести внешняя, поскольку Земля не входит в систему осколков, но за малое время взрыва её импульс невелик.
3. Пренебрегаем этим импульсом и используем Pпосле ≈ Pдо. Направление движения снаряда до взрыва не обязано совпадать с направлением каждого осколка, но векторная сумма их импульсов сохраняется.

Ответ: во время взрыва импульс системы осколков сохраняется приближённо.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что закон применим только при полном отсутствии внешних сил. Так думают, потому что запоминают упрощённое слово «замкнутая». Проверьте не сами силы, а их равнодействующий импульс за нужное время.

Ошибка 2. Называть систему замкнутой, не указав её состав. Если состав не определён, невозможно понять, какие силы внутренние, а какие внешние. Сначала перечислите тела системы, затем классифицируйте каждую силу.

Ошибка 3. Считать, что внутренние силы исчезают. Они действуют, но попарно компенсируются в сумме благодаря третьему закону Ньютона. Проверьте, что речь идёт о суммарном импульсе всей системы, а не отдельного тела.

Ошибка 4. Применять закон при заметном импульсе внешних сил. В таком случае суммарный импульс изменяется, поэтому равенство импульсов до и после неверно. Сравните внешний импульс с импульсами взаимодействия перед записью закона.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать импульс тела, импульс силы, равнодействующую силу и третий закон Ньютона. Импульс силы показывает, насколько изменяется импульс тела за промежуток времени. Эти понятия позволяют понять, почему внешнее воздействие определяет изменение импульса системы.

Закон сохранения импульса особенно полезен в задачах о столкновениях, отдаче, разлёте тел и реактивном движении. В них часто неизвестны силы или время их действия, но известны состояния тел до и после взаимодействия. Сохранение импульса связывает эти состояния напрямую.

Тема связана со вторым законом Ньютона для системы тел: изменение её импульса равно импульсу равнодействующей внешних сил. Закон сохранения импульса является частным случаем этого утверждения при нулевом внешнем импульсе. Поэтому условие замкнутости нужно проверять физически, а не принимать автоматически.

Что запомнить

• Импульс системы — векторная сумма импульсов всех её тел.
• Состав системы выбирают до анализа действующих сил.
• Внутренние силы не изменяют суммарный импульс системы.
• Импульс системы сохраняется, если импульс равнодействующей внешних сил равен нулю.
• Для короткого взаимодействия допустимо приближённое сохранение импульса, если внешний импульс мал.
• Перед применением закона нужно проверить действие внешних сил за рассматриваемый промежуток времени.