3. Условия применения закона сохранения импульса

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Направление импульса совпадает с направлением скорости тела. Это обозначение позволяет учитывать не только быстроту движения, но и его направление.

Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел, входящих в выбранную систему: pсист = p₁ + p₂ + … . Система может включать два сталкивающихся тела, человека и лодку или снаряд и его осколки. Именно общий импульс системы сравнивают до и после взаимодействия.

Замкнутая система — система тел, на которую внешние силы не действуют или их равнодействующая равна нулю. Иногда внешние силы существуют, но их действие за короткое время настолько мало, что им можно пренебречь. Для такой системы применяют закон сохранения импульса.

Внешняя сила — сила со стороны тела, не входящего в рассматриваемую систему. Она может изменить суммарный импульс системы: чем больше её действие за время взаимодействия, тем заметнее изменение. Поэтому перед решением нужно проверить не только силы между телами системы, но и влияние окружающих тел.

Как это устроено

Изменение импульса каждого тела вызывают все силы, действующие на него. Если рассматривать сразу несколько тел, силы между ними становятся внутренними. Они передают импульс от одного тела к другому, но не создают его изменения для всей системы.

Причина этого связана с третьим законом Ньютона. Если тело 1 действует на тело 2 силой F₁₂, то тело 2 действует на тело 1 силой F₂₁, равной ей по модулю и противоположной по направлению. За один и тот же промежуток времени эти силы сообщают телам противоположные изменения импульса, поэтому их сумма для системы равна нулю.

Остаётся действие внешних сил, и именно оно определяет изменение суммарного импульса: Δpсист = Fвнешн.Δt, если равнодействующая постоянна. Когда равнодействующая внешних сил равна нулю, Δpсист = 0. Значит, векторный суммарный импульс до взаимодействия равен суммарному импульсу после него.

Систему иногда считают замкнутой даже при наличии внешних сил. Это возможно, если взаимодействие длится очень недолго и импульс внешней силы Fвнешн.Δt пренебрежимо мал по сравнению с изменениями импульсов, вызванными внутренними силами. Так обычно рассуждают при взрыве, выстреле или быстром столкновении.

Перед применением закона сначала определяют состав системы, затем выбирают оси и положительное направление. После этого записывают импульсы всех тел до и после события с учётом знаков или проекций на оси. Нельзя автоматически считать систему замкнутой: нужно объяснить, почему внешние силы отсутствуют или их импульсом можно пренебречь.

Условия применимости закона сохранения импульса

Сначала найдите строку, описывающую физическую ситуацию, а затем проверьте действие внешних сил. Если закон применим приближённо, оцените, достаточно ли коротким было взаимодействие и насколько велики внешние силы. В сомнительном случае нельзя просто приравнивать импульсы: нужно учитывать импульс внешней силы.

Разбор задач

1. Неупругое столкновение двух тел

Два тела массами m₁ и m₂ движутся навстречу со скоростями v₁ и v₂, а после столкновения сцепляются. Требуется найти их общую скорость u. Сопротивлением среды пренебрегаем, поэтому тела образуют замкнутую систему.

1. Выберем направление движения первого тела за положительное: его импульс равен m₁v₁, а импульс второго тела — −m₂v₂.
2. После сцепления масса системы равна m₁ + m₂, поэтому её импульс равен (m₁ + m₂)u.
3. Запишем сохранение импульса: m₁v₁ − m₂v₂ = (m₁ + m₂)u, откуда u = (m₁v₁ − m₂v₂)/(m₁ + m₂).

Ответ: общая скорость равна u = (m₁v₁ − m₂v₂)/(m₁ + m₂). Знак результата показывает направление движения сцепившихся тел.

2. Прыжок человека с лодки

Человек массой m прыгает с лодки массой M со скоростью v относительно берега. Лодка до прыжка покоилась, а сопротивлением воды пренебрегаем. Нужно найти скорость лодки u после прыжка.

1. Системой выбираем человека и лодку; до прыжка её суммарный импульс равен нулю.
2. После прыжка зададим направление движения человека положительным, тогда его импульс равен mv, а импульс лодки направлен противоположно и равен −Mu.
3. Из закона сохранения импульса получаем 0 = mv − Mu, поэтому u = mv/M.

Ответ: лодка движется со скоростью u = mv/M в сторону, противоположную прыжку человека. Чем больше масса лодки, тем меньше её скорость.

3. Разрыв снаряда на осколки

Снаряд массой M летит со скоростью v и разрывается на осколки. Известны массы и скорости нескольких осколков, а скорость одного нужно найти. Если взрыв длится очень короткое время, внешним импульсом можно пренебречь.

1. В систему включаем снаряд до взрыва и все осколки после него; выбираем оси, например горизонтальную и вертикальную.
2. По каждой оси отдельно записываем равенство начального и конечного импульсов: Mvₓ = Σmᵢvᵢₓ и Mvᵧ = Σmᵢvᵢᵧ.
3. Переносим известные слагаемые в другую часть равенства и находим неизвестные проекции скорости, затем по ним определяем модуль и направление скорости осколка.

Ответ: скорость неизвестного осколка находят из сохранения импульса по выбранным координатным направлениям. Перед вычислениями обязательно проверяют, что импульс внешних сил за время взрыва мал.

Типичные ошибки

Применяют закон к одному телу, хотя он относится к выбранной системе. Ошибка возникает из-за смешения импульса тела и импульса системы. Проверьте себя: перечислены ли все тела, чьи импульсы входят в начальную и конечную суммы?

Считают систему замкнутой только потому, что тела взаимодействуют между собой. Но на неё могут действовать сила тяжести, реакция опоры или сопротивление среды. Нужно назвать внешние силы и оценить, можно ли пренебречь их равнодействующей или импульсом.

Складывают импульсы как обычные положительные числа без учёта направлений. Так получают неверный результат для встречного движения. Выберите положительную ось и поставьте противоположным направлениям разные знаки.

Применяют закон при заметном внешнем воздействии, не учитывая его импульс. Тогда суммарный импульс системы действительно изменяется, и равенство «до = после» нарушается. Проверьте длительность взаимодействия и сравните действие внешних сил с внутренними.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны второй и третий законы Ньютона, а также понятия силы, массы, скорости и векторного сложения. Второй закон связывает изменение импульса с силой, а третий объясняет компенсацию внутренних сил.

Тема продолжает изучение импульса тела: теперь рассматривается не один объект, а сумма импульсов системы. Дальше этот закон пригодится при решении задач о столкновениях, отдаче, реактивном движении и взрывах.

Что запомнить

• Импульс системы равен векторной сумме импульсов входящих в неё тел.
• Импульс системы сохраняется, если равнодействующая внешних сил равна нулю.
• Внутренние силы не изменяют суммарный импульс системы.
• Внешними силами можно пренебречь, если их импульс за время взаимодействия мал.
• Перед решением нужно определить систему тел и выбрать положительное направление.
• Импульсы тел, движущихся в противоположных направлениях, имеют разные знаки.
• Закон сохранения импульса применяется к состояниям системы до и после взаимодействия.