§ 26. Условия применения закона сохранения импульса

Определения и обозначения

Замкнутая система тел — система, на которую внешние силы не действуют или их равнодействующая равна нулю. Силы между телами системы могут действовать, но они считаются внутренними. Это условие позволяет исследовать только обмен импульсом внутри системы.

Импульс системы — векторная сумма импульсов всех тел: pсист = p₁ + p₂ + … . Импульс отдельного тела равен произведению его массы на скорость: p = mv. Такая величина показывает не только количество движения, но и его направление.

Закон сохранения импульса утверждает: полный импульс замкнутой системы не меняется со временем, то есть pсист до = pсист после. Тела могут изменить скорости, но общий результат векторного сложения останется прежним. Закон особенно удобен для столкновений, отдачи и разлёта тел.

Импульс внешней силы — изменение импульса системы, вызванное внешней силой за некоторый промежуток времени: Jвнеш = Δpсист. Для постоянной силы его можно записать как J = FΔt. Если этот импульс мал, внешним воздействием допускают пренебречь.

Как это устроено

Импульсы тел складывают векторно, потому что каждый импульс имеет направление скорости своего тела. Два тела, движущиеся в одну сторону, дают положительный вклад на выбранной оси, а встречные движения — противоположные вклады. Поэтому общий импульс нельзя находить простым сложением модулей во всех задачах.

Внутренние силы не меняют полный импульс системы, поскольку возникают попарно. По третьему закону Ньютона силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению, а значит, их сумма равна нулю. Изменение импульса одного тела точно компенсируется изменением импульса другого, если оба тела включены в систему.

Рассмотрим систему из нескольких тел и сложим второй закон Ньютона для каждого из них. Внутренние силы сократятся попарно благодаря третьему закону Ньютона, а останется равнодействующая внешних сил: Δpсист = FвнешΔt. Если Fвнеш = 0, то Δpсист = 0, следовательно, pсист сохраняется.

Иногда внешние силы не равны нулю, но действуют очень короткое время. Тогда их импульс Jвнеш = FвнешΔt может оказаться малым по сравнению с импульсами тел и изменениями, вызванными их столкновением. В таком случае пишут закон сохранения импульса приближённо, понимая, что небольшая погрешность связана с внешним воздействием.

Сохраняется именно векторный импульс, а не обязательно его модуль для каждого тела. Поэтому сначала выбирают положительные направления осей, затем записывают равенство проекций: pₓ до = pₓ после и pᵧ до = pᵧ после. Проекция, направленная против положительной оси, получает отрицательный знак.

Когда применим закон сохранения импульса

Таблица помогает проверить не только наличие внешних сил, но и их влияние за нужный промежуток времени. Оценивать следует выбранную систему и конкретное направление: по одной оси закон может выполняться, а по другой — нет.

Разбор задач

Два тела на гладкой поверхности

Условие. Два тела на гладкой горизонтальной поверхности отталкиваются друг от друга. Нужно определить, можно ли считать их систему замкнутой по горизонтали.

1. Выберем системой оба тела, а не одно из них. Тогда силы, с которыми тела отталкиваются, будут внутренними.
2. По горизонтали поверхность гладкая, поэтому сила трения отсутствует. Силы тяжести и реакции опоры направлены вертикально и не имеют горизонтальных проекций.
3. Равнодействующая внешних сил по горизонтали равна нулю. Значит, горизонтальная составляющая полного импульса сохраняется.

Ответ. Систему двух тел можно считать замкнутой по горизонтали, поэтому pₓ до = pₓ после. По вертикали вопрос о движении не рассматривается: там силы тяжести и опоры уравновешены.

Столкновение тележек

Условие. Тележка сталкивается с неподвижной тележкой на горизонтальном рельсе. За короткое время удара трением можно пренебречь; обоснуйте применение закона сохранения импульса.

1. Включим в систему обе тележки. Силы взаимодействия при столкновении станут внутренними и компенсируются в сумме.
2. Вдоль рельса внешнее воздействие почти отсутствует: сопротивлением движению пренебрегают. Вертикальные сила тяжести и реакция рельса взаимно уравновешены.
3. Импульс трения за время удара мал, поэтому горизонтальный импульс системы практически не изменяется. Можно записать m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′, причём v₂ = 0.

Ответ. Закон сохранения импульса применим приближённо по горизонтали, потому что внешний импульс за время столкновения мал.

Прыжок человека с лодки

Условие. Человек прыгает с лодки на берег, и лодка заметно отходит назад. Нужно указать систему и направления, где можно применять закон.

1. Выберем систему «человек — лодка». Силы отталкивания при прыжке внутренние, поэтому они не меняют полный импульс этой системы.
2. По горизонтали сопротивление воды может быть небольшим во время короткого прыжка. Если его импульсом пренебречь, горизонтальный импульс человека и лодки сохраняется: pₓ до = pₓ после.
3. По вертикали действуют сила тяжести и сила со стороны воды. Обычно они не позволяют без проверки считать вертикальную систему замкнутой, поэтому вертикальные внешние силы нужно учитывать.

Ответ. Приближённое сохранение импульса используют для системы «человек — лодка» по горизонтали. По вертикали закон применяют только после отдельной оценки внешнего импульса.

Типичные ошибки

Система замкнута, потому что её тела взаимодействуют друг с другом. Так рассуждать недостаточно: на систему могут действовать трение, сопротивление воздуха или опора. Проверьте все внешние силы и их равнодействующую по нужному направлению.

Внутренние силы считают причиной изменения полного импульса. Такая ошибка появляется, если рассматривать только одно тело, а не всю систему. Включите оба взаимодействующих тела и убедитесь, что их силы компенсируются попарно.

Закон применяют без оценки внешнего воздействия. Даже короткое взаимодействие может сопровождаться заметным внешним импульсом. Сравните Jвнеш с изменением импульса и укажите, что закон используется приближённо, если воздействие мало.

Импульсы складывают как обычные числа. Это приводит к неверному результату при встречном движении тел. Выберите ось, поставьте знаки у проекций и только затем выполняйте сложение.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение импульса тела p = mv, второй и третий законы Ньютона, а также правила сложения векторов и их проекций. Без этих знаний трудно понять, почему силы сокращаются и откуда появляется условие Δpсист = Jвнеш.

Закон сохранения импульса используется при анализе столкновений, отдачи оружия, разлёта осколков и реактивного движения. Во всех таких задачах сначала выбирают систему, а затем проверяют влияние внешних сил.

Что запомнить

• Импульс системы — векторная сумма импульсов входящих в неё тел.
• Внутренние силы не изменяют полный импульс системы.
• Полный импульс сохраняется, если равнодействующая внешних сил равна нулю.
• Важно заранее правильно выбрать границы системы.
• Если внешний импульс за время взаимодействия мал, сохранение импульса применяют приближённо.
• При расчётах по осям учитывают направления и знаки проекций.