§ 14. Условия применения закона сохранения импульса

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная величина p = m·v, равная произведению массы тела на его скорость. Направление импульса совпадает с направлением скорости. Это позволяет учитывать не только величину движения, но и его направление.

Импульс силы — изменение импульса тела под действием силы за промежуток времени: Δp = F·Δt для постоянной силы. Он показывает, насколько сила изменила движение тела. При переменной силе используют её суммарное действие за всё время.

Замкнутая система тел — система, на которую внешние силы не действуют или их суммарный импульс пренебрежимо мал. Внутри такой системы тела могут активно взаимодействовать. Это условие позволяет рассматривать их общий импульс как сохраняющуюся величину.

Закон сохранения импульса утверждает: векторная сумма импульсов тел замкнутой системы не изменяется. Математически Σp до = Σp после. Закон особенно полезен при столкновениях, взрывах и других кратковременных взаимодействиях.

Как это устроено

При взаимодействии тела обмениваются импульсами, поэтому следить за каждым телом отдельно неудобно. Если объединить их в одну систему, можно сложить импульсы всех тел и увидеть общий результат взаимодействия. Тогда уменьшение импульса одного тела компенсируется увеличением импульса другого, а задача сводится к сравнению суммарного импульса до и после события.

По второму закону Ньютона изменение импульса тела равно импульсу действующей силы: Δp = F·Δt. Для двух взаимодействующих тел третий закон Ньютона даёт силы F₁₂ = −F₂₁. За один и тот же промежуток времени их импульсы также противоположны, поэтому сумма изменений импульсов, вызванных внутренними силами, равна нулю.

Из этого следует, что общий импульс может измениться только под действием внешних сил. Если векторная сумма их импульсов равна нулю, то ΔΣp = 0 и Σp остаётся постоянной. Поэтому закон применяют не потому, что отдельные тела не ускоряются, а потому, что внутренние изменения взаимно компенсируются.

Внешние силы иногда существуют, но их действие за короткое время настолько мало, что им можно пренебречь. Например, при взрыве снаряда импульс силы тяжести за очень малое время обычно намного меньше импульсов осколков. Перед решением нужно выбрать систему тел, систему отсчёта и направления осей: только после этого можно правильно определить знаки и проекции векторов.

Условия применения закона сохранения импульса

Сначала определите, какие тела входят в систему, затем оцените внешние силы за время взаимодействия. Если они заметны, полный импульс не сохраняется без поправки. При нулевой внешней проекции можно применять закон только к соответствующей координатной оси.

Разбор задач

Столкновение тележек

Условие. Две тележки массами m₁ и m₂ движутся по гладкому горизонтальному рельсу со скоростями v₁ и v₂, сталкиваются и движутся вместе. Найти их общую скорость.

1. Выберем обе тележки системой. Рельс гладкий, поэтому горизонтальным внешним импульсом можно пренебречь.
2. Направим ось вдоль движения первой тележки и запишем импульсы со знаками: m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)v.
3. Выразим неизвестную скорость: v = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂). Если тележки движутся навстречу, скорость одной из них нужно взять отрицательной.

Ответ: v = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂), направление определяется знаком результата.

Разрыв снаряда

Условие. Снаряд массой m летит со скоростью v и разрывается на осколки массами m₁ и m₂. Известны скорость v₁ и направление первого осколка. Найти скорость второго осколка.

1. Рассмотрим оба осколка как систему в короткий момент взрыва. Импульсом силы тяжести за это время пренебрегаем.
2. До разрыва импульс равен m·v, после — m₁v₁ + m₂v₂. Поэтому m·v = m₁v₁ + m₂v₂.
3. Выразим вектор скорости второго осколка: v₂ = (m·v − m₁v₁)/m₂. Вычитание выполняется с учётом направлений векторов.

Ответ: v₂ = (m·v − m₁v₁)/m₂.

Прыжок человека с лодки

Условие. Человек массой m прыгает с лодки массой M. До прыжка система покоится. Определить скорость лодки после прыжка, если скорость человека относительно берега равна u.

1. При малом сопротивлении воды систему «человек—лодка» можно считать замкнутой: её начальный импульс равен нулю.
2. После прыжка mu + MV = 0, если направление прыжка принять за положительное. Отсюда V = −mu/M.
3. Знак минус означает, что лодка движется в сторону, противоположную движению человека. При заметном сопротивлении воды нужно добавить импульс этой внешней силы.

Ответ: по модулю V = mu/M, направление противоположно прыжку; при сопротивлении воды используют Σp после = Σp до + J внешних сил.

Типичные ошибки

Сохраняют импульс одного тела. Это происходит, когда забывают, что закон относится к системе. Проверьте, перечислены ли все тела, участвующие во взаимодействии, и складываются ли их импульсы.

Не учитывают заметную внешнюю силу. Иногда само наличие кратковременного взаимодействия ошибочно считают достаточным условием. Сравните импульс внешней силы с изменением импульса тел; при близких величинах закон без поправки неприменим.

Складывают модули импульсов. Импульс является вектором, поэтому встречные движения нельзя складывать как положительные числа. Выберите ось и присвойте противоположным направлениям разные знаки.

Меняют состав системы по ходу решения. Если исключить тело, с которым происходит взаимодействие, внутренняя сила станет внешней и условие замкнутости нарушится. До записи формулы выпишите состав системы и используйте его неизменно.

Связь с другими темами

Для темы нужны понятия импульса тела и силы, второй и третий законы Ньютона, а также сложение векторов и нахождение проекций. Закон сохранения импульса применяют в задачах о столкновениях, отдаче оружия, реактивном движении и взрывах. При дальнейшем изучении сопоставляйте его с законами сохранения энергии и механической работой: они описывают разные сохраняющиеся величины и требуют разных условий.

Что запомнить

• Закон сохранения импульса применяют к системе тел, а не обязательно к каждому телу отдельно.
• Суммарный импульс системы сохраняется, если импульс внешних сил равен нулю.
• При малом импульсе внешних сил закон можно применять приближённо.
• Внутренние силы не изменяют суммарный импульс системы.
• Импульс и его сохранение имеют векторный характер.
• Для решения задачи нужно заранее выбрать систему тел и направление оси.
• Если внешние силы существенны, необходимо учитывать их суммарный импульс.