§ 26. Условия применения закона сохранения импульса

Определения и обозначения

Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел, входящих в выбранную систему. Обозначим её pсист: pсист = p₁ + p₂ + … . Состав системы выбирают для конкретной задачи: можно рассматривать одно тело или несколько, и от этого выбора зависит, какие взаимодействия окажутся внутренними.

Замкнутая система тел — система, на которую не действуют внешние силы или действие этих сил можно считать пренебрежимо малым. Такое определение позволяет применять закон сохранения импульса и в идеальной модели, и приближённо — в реальных условиях. Например, при коротком столкновении влияние некоторых внешних сил может быть очень мало.

Внешние силы действуют на тела системы со стороны тел, не включённых в неё; внутренние силы возникают при взаимодействии тел внутри системы. Поэтому сила тяжести может быть внешней для системы из двух конькобежцев, а сила их отталкивания — внутренней. Разделение помогает правильно проверить условия задачи.

Закон сохранения импульса утверждает: импульс системы остаётся постоянным, если равнодействующая внешних сил равна нулю или их импульс за рассматриваемое время пренебрежимо мал. Импульс внешней силы равен изменению импульса системы. Закон нужен, чтобы находить скорости тел до или после взаимодействия, даже если подробности самого процесса неизвестны.

Как это устроено

Сначала задают границы системы, потому что именно они определяют, какие силы считать внешними. Если рассматриваются два сталкивающихся тела вместе, силы, с которыми они действуют друг на друга, будут внутренними. Если же выбрать системой только одно тело, действие второго станет для него внешней силой, и анализ изменится.

Внутренние силы не меняют суммарный импульс системы благодаря третьему закону Ньютона. При взаимодействии двух тел силы равны по модулю и противоположны по направлению; за одинаковое время они сообщают телам импульсы, которые тоже противоположны. При сложении импульсов всей системы эти изменения взаимно компенсируются, хотя импульсы отдельных тел могут заметно измениться.

Если равнодействующая внешних сил равна нулю, суммарный импульс не меняется. Это возможно не только при отсутствии внешних сил: например, сила тяжести и сила реакции опоры могут уравновешивать друг друга. В таком случае каждая сила по отдельности действует, но их совместный результат для системы равен нулю.

В реальных задачах внешние силы часто не равны нулю, поэтому проверяют не только силу, но и время её действия. Импульс силы равен произведению силы на время, если сила постоянна: I = FΔt. Во время короткого столкновения силы взаимодействия тел обычно очень велики, а внешние силы, например трение, за малое время сообщают сравнительно небольшой импульс; тогда им можно пренебречь.

Закон сохранения импульса применяют в инерциальной системе отсчёта, где тело без результирующей силы покоится или движется равномерно и прямолинейно. В неинерциальной системе отсчёта появляется ускорение самой системы, и для описания движения приходится учитывать силы инерции. Поэтому один и тот же процесс следует анализировать в выбранной инерциальной системе, а векторные импульсы складывать с учётом направлений.

Когда можно считать импульс системы сохраняющимся

Пользуйся таблицей так: сначала определи границы системы, затем выясни, уравновешены ли внешние силы или мал их импульс за нужное время. Если внешний импульс заметен, равенство импульсов до и после взаимодействия без поправок применять нельзя.

Разбор задач

Отталкивание конькобежцев

Два конькобежца отталкиваются на гладком льду. Нужно определить, сохраняется ли суммарный импульс системы «два конькобежца». Массы и скорости для ответа «да или нет» не нужны: проверим внешние силы именно по горизонтали, в направлении движения.

1. Выбираем систему из обоих конькобежцев. Силы их отталкивания теперь внутренние, поэтому при суммировании импульсов они взаимно компенсируются.
2. По вертикали сила тяжести уравновешена реакцией льда. По горизонтали трение мало, так что равнодействующую внешних сил можно считать равной нулю.
3. Значит, горизонтальная составляющая суммарного импульса сохраняется. Если до толчка конькобежцы покоились, их импульсы после отталкивания равны по модулю и противоположны по направлению.

Ответ: суммарный импульс сохраняется, если внешним горизонтальным воздействием можно пренебречь.

Тележка сцепляется с грузом

Тележка массой m движется со скоростью v и сталкивается с неподвижным грузом массой M, после чего они движутся вместе. Известно, что импульсом силы трения за время столкновения можно пренебречь. Найдём скорость сцепившихся тел, выбрав положительное направление по движению тележки.

1. Система — тележка и груз. Сила, с которой тележка действует на груз, и сила действия груза на тележку внутренние.
2. Внешний импульс трения мал, поэтому горизонтальный импульс системы до столкновения равен импульсу после него. До удара pдо = mv + M · 0.
3. После удара оба тела движутся с одной скоростью u, значит pпосле = (m + M)u. Приравниваем импульсы и получаем u = mv/(m + M).

Ответ: скорость тележки с грузом после столкновения равна mv/(m + M) в выбранном направлении.

Разрыв снаряда в полёте

Снаряд массой m₀ движется со скоростью v₀ и разрывается на осколки массами m₁ и m₂. Скорость первого осколка v₁ задана, требуется найти скорость второго. За короткое время разрыва импульсом силы тяжести можно пренебречь, если m₀gΔt мало по сравнению с импульсами осколков.

1. Выбираем систему из обоих осколков; силы взрыва внутри неё. Внешний импульс тяжести за время разрыва мал, поэтому импульс системы приближённо сохраняется.
2. Записываем векторное равенство до и после разрыва: m₀v₀ = m₁v₁ + m₂v₂. Переносим известный импульс первого осколка: m₂v₂ = m₀v₀ − m₁v₁.
3. Делим обе части на m₂: v₂ = (m₀v₀ − m₁v₁)/m₂. Если движение происходит вдоль одной прямой, сначала задаём положительное направление и подставляем скорости с учётом их знаков.

Ответ: скорость второго осколка задаётся формулой v₂ = (m₀v₀ − m₁v₁)/m₂; вектор или знак результата указывает его направление.

Типичные ошибки

Применять закон только потому, что тел несколько. Это кажется естественным, ведь тела взаимодействуют друг с другом, но на систему могут влиять и внешние силы. Проверь границы системы и перечисли силы, действующие на неё; если равнодействующая или внешний импульс велики, простое равенство импульсов не подходит.

Требовать полного отсутствия внешних сил. Так забывают, что силы могут уравновешиваться, а импульсом внешней силы иногда можно пренебречь. Проверь сумму сил, а для короткого процесса сравни внешний импульс с импульсами взаимодействия.

Не указывать границы системы. Без них легко перепутать внутреннюю силу с внешней: сила взаимодействия двух тел внутренняя, только если оба тела включены в систему. Запиши состав системы до уравнения и проверь, от каких тел исходят рассматриваемые силы.

Складывать импульсы как обычные числа. Импульс — вектор, поэтому одинаковые по модулю импульсы в противоположных направлениях компенсируются. Выбери оси и направления, запиши проекции со знаками; проверка направления результата поможет заметить ошибку.

Связь с другими темами

Для применения закона нужны понятия импульса тела, силы и импульса силы, а также третий закон Ньютона: он объясняет компенсацию внутренних взаимодействий. Знание закона сохранения импульса помогает разбирать столкновения, отдачу и реактивное движение. Чтобы правильно записывать уравнения, нужно уметь выбирать инерциальную систему отсчёта и находить проекции векторов на оси.

Что запомнить

• Импульс системы — векторная сумма импульсов входящих в неё тел.
• Сначала выбери систему тел, затем оцени внешние силы.
• Внутренние силы не изменяют суммарный импульс замкнутой системы.
• Импульс системы сохраняется, если равнодействующая внешних сил равна нулю.
• За короткое время взаимодействия внешним импульсом иногда можно пренебречь.
• Закон применяют в инерциальной системе отсчёта.
• При расчётах учитывай направления импульсов.