2. Закон сохранения импульса

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Здесь p — импульс, m — масса, v — скорость. Он нужен, чтобы описывать движение тела с учётом сразу двух факторов: насколько тело массивно и насколько быстро движется.

Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему: p_сист = p₁ + p₂ + … . Складывать нужно именно векторы, поэтому направления движения влияют на результат. Это понятие позволяет рассматривать несколько взаимодействующих тел как единое целое.

Замкнутая система тел — система, на которую не действуют внешние силы или действие этих сил можно не учитывать. Силы, с которыми тела системы действуют друг на друга, называют внутренними. Такое условие необходимо, чтобы применить закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса утверждает: в замкнутой системе суммарный импульс не изменяется. Значит, общий импульс до взаимодействия равен общему импульсу после него. При этом импульсы отдельных тел могут изменяться.

Как это устроено

Импульс зависит от массы, потому что более массивное тело труднее разогнать или остановить при той же скорости. Он зависит и от скорости: быстро движущееся тело сильнее изменяет движение другого тела при столкновении. Направление импульса совпадает с направлением скорости, поэтому при развороте тела меняется и направление его импульса.

Когда тела взаимодействуют, каждое из них действует на другое силой. По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому за один и тот же промежуток времени изменения импульсов тел также равны по модулю и противоположны по направлению.

Суммарный импульс системы складывается из импульсов всех её тел. Если одно тело получает некоторый импульс, другое получает такой же по модулю импульс в противоположную сторону. Эти изменения при сложении компенсируются, поэтому внутренние силы не меняют общий импульс системы.

Внешняя сила может сообщить импульс всей системе или забрать его у неё. Поэтому при наличии заметного внешнего воздействия суммарный импульс обычно изменяется, и закон сохранения в простой форме применять нельзя. Систему можно считать замкнутой, если внешних сил нет или их импульс за время взаимодействия намного меньше импульсов, которыми обмениваются тела.

Для двух тел закон записывают так: p₁ + p₂ = p₁′ + p₂′, где без штриха указаны импульсы до взаимодействия, а со штрихом — после. Та же идея работает для трёх и большего числа тел: складываются импульсы всех тел до и после процесса. Закон применяют к столкновениям, разлёту частей и отдаче.

Импульс тела и закон сохранения импульса

В таблице собраны основные обозначения и условия. В графе «направление или условие» указано, что нужно учитывать при записи величины. Единица для импульса тела и системы одна и та же, поскольку импульс системы тоже является импульсом.

Разбор задач

1. Импульс движущегося тела

Условие: тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Нужно найти его импульс. Направление импульса должно совпасть с направлением движения тела.

1. Записываем формулу: p = mv.
2. Подставляем значения: p = 2 кг · 3 м/с = 6 кг·м/с.
3. Указываем направление результата — вдоль скорости тела.

Ответ: p = 6 кг·м/с, импульс направлен так же, как скорость.

2. Неупругое столкновение

Условие: два тела движутся навстречу друг другу и после столкновения сцепляются. Обозначим их массы m₁ и m₂, скорости до столкновения — v₁ и v₂. Требуется найти общую скорость после столкновения.

1. Выбираем положительное направление, например направление движения первого тела, поэтому скорость второго тела записываем со знаком «минус».
2. До столкновения общий импульс равен m₁v₁ − m₂v₂.
3. После сцепления тела движутся как одно целое с массой m₁ + m₂ и скоростью u, поэтому m₁v₁ − m₂v₂ = (m₁ + m₂)u.
4. Выражаем скорость: u = (m₁v₁ − m₂v₂) / (m₁ + m₂). Знак результата покажет направление движения сцепившихся тел.

Ответ: общая скорость определяется формулой u = (m₁v₁ − m₂v₂) / (m₁ + m₂), если скорости заданы положительными модулями.

3. Прыжок с лодки

Условие: человек массой 60 кг стоит на неподвижной лодке массой 120 кг и прыгает со скоростью 2 м/с относительно берега. Найдём скорость лодки после прыжка, считая систему «человек — лодка» замкнутой.

1. До прыжка оба тела покоятся, поэтому общий импульс равен нулю.
2. После прыжка: 60 · 2 + 120u = 0, так как лодка движется противоположно человеку.
3. Получаем u = −120 / 120 = −1 м/с.

Ответ: лодка движется со скоростью 1 м/с в сторону, противоположную прыжку человека.

Типичные ошибки

Складывать модули импульсов без направлений. Так поступают, когда воспринимают импульс как обычное число. Проверьте, выбрана ли ось и указаны ли знаки скоростей.

Подставлять скорость без знака. При движении по одной прямой противоположные направления нельзя записывать одинаково. После выбора положительной оси поставьте «минус» у скорости, направленной против неё.

Применять закон к незамкнутой системе. Внешняя сила может изменить суммарный импульс, поэтому одного факта взаимодействия тел недостаточно. Укажите, почему внешним воздействием можно пренебречь.

Считать, что сохраняется импульс каждого тела. Во время взаимодействия тела обмениваются импульсами, и их собственные импульсы меняются. Сравнивайте до и после именно сумму импульсов всей системы.

Связь с другими темами

Для понимания импульса нужны масса и скорость, а также представление о векторах и их сложении. Третий закон Ньютона объясняет, почему изменения импульсов взаимодействующих тел взаимно компенсируются.

Закон сохранения импульса используется при изучении столкновений, отдачи и реактивного движения. Он особенно полезен, когда силы взаимодействия неизвестны или действуют очень короткое время.

Что запомнить

• Импульс тела равен произведению его массы на скорость: p = mv.
• Импульс — векторная величина, направленная так же, как скорость тела.
• Импульс системы равен векторной сумме импульсов её тел.
• В замкнутой системе суммарный импульс сохраняется.
• При решении задач важно учитывать направления и знаки скоростей.
• Закон сохранения импульса применим к столкновениям, разлёту тел и отдаче.