2. Закон сохранения импульса

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Направление импульса совпадает с направлением скорости. Он нужен, чтобы одновременно учитывать, насколько тело массивно и насколько быстро оно движется.

Импульс системы — векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему: p = p₁ + p₂ + … . При сложении учитывают направления движения тел. Это позволяет описывать не отдельное тело, а всю совокупность взаимодействующих объектов.

Замкнутая система — система тел, на которую внешние силы не действуют или их равнодействующая равна нулю. Силы между самими телами при этом могут быть большими. Такое условие нужно, чтобы внутренние взаимодействия не изменяли полный импульс системы.

Закон сохранения импульса утверждает: полный импульс замкнутой системы не изменяется при любых взаимодействиях тел внутри неё. Поэтому сумма импульсов до события равна сумме импульсов после него. Закон записывают как p₁ + p₂ + … = const.

Как это устроено

Импульс связывает массу и скорость, потому что изменить движение тяжёлого тела труднее, чем движение лёгкого при той же скорости. Второй закон Ньютона можно записать как F = Δp⁄Δt, поэтому Δp = FΔt: сила изменяет импульс за время своего действия. Произведение FΔt называют импульсом силы, и оно показывает, насколько изменилось движение тела.

Рассмотрим два взаимодействующих тела. По третьему закону Ньютона силы их действия друг на друга равны по модулю и противоположны по направлению: F₁₂ = −F₂₁. За один и тот же промежуток времени эти силы сообщают телам противоположные изменения импульса, поэтому Δp₁ + Δp₂ = 0, а полный импульс не меняется.

Система считается замкнутой, когда сумма внешних сил равна нулю. Отдельные внешние силы могут существовать, но их действие должно взаимно компенсироваться или быть пренебрежимо малым за выбранное время. Если равнодействующая внешних сил не равна нулю, она изменяет полный импульс системы и закон в обычном виде применять нельзя.

Импульс является вектором, поскольку скорость имеет направление: движение вправо и движение влево при одинаковых модулях дают противоположные импульсы. Поэтому в задачах вдоль одной прямой выбирают положительное направление и используют знаки «плюс» и «минус». В плоскости закон записывают отдельно: Σpₓ до = Σpₓ после и Σpᵧ до = Σpᵧ после.

При столкновении закон связывает состояния тел до и после удара. При отдаче или взрыве части системы получают противоположные импульсы, компенсируя начальный импульс. Кинетическая энергия при этом ведёт себя иначе: при неупругом взаимодействии она обычно уменьшается, потому что часть энергии переходит в нагрев, деформацию и звук.

Применение закона сохранения импульса к различным взаимодействиям

Сначала определите систему и проверьте, можно ли считать её замкнутой. Затем выберите ось или оси, расставьте знаки скоростей и запишите импульсы до и после события. Если тела движутся после удара вместе, используйте формулу неупругого столкновения; если нужно найти несколько скоростей после упругого удара, добавьте закон сохранения кинетической энергии.

Разбор задач

Столкновение тележек

Условие. Тележка массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с и сталкивается с неподвижной тележкой массой 1 кг. После удара тележки сцепляются, поэтому столкновение является абсолютно неупругим. Нужно найти общую скорость.

1. Выберем направление движения первой тележки положительным: v₁ = 3 м/с, v₂ = 0.
2. Запишем сохранение импульса: m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)v.
3. Подставим значения: 2 · 3 + 1 · 0 = 3v, откуда v = 2 м/с.

Ответ: после столкновения обе тележки движутся в прежнем направлении со скоростью 2 м/с. Скорость уменьшилась, потому что та же величина импульса распределилась между большей общей массой.

Отдача пушки

Условие. Снаряд массой 10 кг вылетает из пушки массой 500 кг со скоростью 400 м/с относительно пушки. Систему «пушка — снаряд» считаем замкнутой, а до выстрела её импульс равен нулю. Требуется найти скорость отдачи пушки.

1. Направим ось по движению снаряда; скорость снаряда после выстрела положительна, скорость пушки отрицательна.
2. Запишем: mₛvₛ + mₚvₚ = 0.
3. Получим vₚ = −mₛvₛ⁄mₚ = −10 · 400⁄500 = −8 м/с.

Ответ: пушка движется со скоростью 8 м/с в сторону, противоположную полёту снаряда. Минус показывает направление, а не отрицательную величину скорости.

Столкновение в плоскости

Условие. Два тела движутся навстречу друг другу в плоскости и после столкновения слипаются. Их массы и скорости известны, а направления заданы углом. Нужно найти скорость и направление общего тела.

1. Выберем оси координат и разложим каждый импульс на проекции: pₓ = mv cos α, pᵧ = mv sin α, учитывая знаки направлений.
2. Отдельно применим закон по осям: pₓ = p₁ₓ + p₂ₓ и pᵧ = p₁ᵧ + p₂ᵧ.
3. Для общей массы M = m₁ + m₂ найдём скорость: vₓ = pₓ⁄M, vᵧ = pᵧ⁄M, затем v = √(vₓ² + vᵧ²), а угол — из tg α = vᵧ⁄vₓ.

Ответ: модуль общей скорости вычисляют по найденным проекциям, а направление определяют по их знакам и отношению. Такой способ заменяет сложное сложение наклонных векторов двумя простыми уравнениями.

Типичные ошибки

Складывают модули импульсов без направлений. Так поступают, потому что видят в формуле только произведение mv, но импульс является вектором. Проверьте себя: выберите ось и поставьте противоположным движениям разные знаки.

Рассматривают только одно тело. Ошибка возникает, когда забывают, что сила взаимодействия меняет импульс выбранного тела. Включите в систему все тела, участвующие в столкновении, отдаче или взрыве.

Не проверяют замкнутость системы. Наличие внутренних сил ещё не означает, что внешние силы отсутствуют. Перед записью закона найдите равнодействующую внешних сил и оцените, можно ли ею пренебречь.

Считают, что при любом столкновении сохраняется кинетическая энергия. Это верно только для идеализированного упругого столкновения. Если тела деформируются или нагреваются, энергия переходит во внутреннюю, хотя импульс замкнутой системы сохраняется.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны второй и третий законы Ньютона, понятия силы, массы, скорости, вектора и проекции вектора на ось. Закон сохранения импульса применяют в задачах о столкновениях, отдаче оружия, взрывах и реактивном движении. Он подготавливает изучение механической энергии, упругих столкновений, движения центра масс и реактивного движения.

Что запомнить

• Импульс тела определяется формулой p = mv.
• Импульс имеет направление скорости тела.
• Импульс системы равен векторной сумме импульсов её частей.
• В замкнутой системе полный импульс сохраняется.
• Закон сохранения импульса записывают для состояния до и после взаимодействия.
• Для задач в плоскости закон применяют отдельно к проекциям на координатные оси.
• Сохранение импульса не означает обязательного сохранения кинетической энергии.