2. Импульс силы

Определения и обозначения

Импульс силы — векторная величина, равная произведению силы на время её действия, если сила постоянна: I = FΔt. Здесь F — сила, а Δt — промежуток времени, в течение которого она действует. Это понятие позволяет учитывать не только силу, но и продолжительность её действия.

Единица импульса силы — ньютон-секунда, Н·с, которая равна кг·м/с. Единица следует из умножения силы, измеряемой в ньютонах, на время в секундах. Она показывает, насколько изменяется импульс тела под действием силы за данный промежуток.

Изменение импульса тела — разность конечного и начального импульсов: Δp = p₂ − p₁. Индексы 1 и 2 обозначают начальное и конечное состояния тела, а p — импульс тела, равный mv. Такое вычитание нужно, чтобы найти именно перемену движения, а не просто конечное значение импульса.

Теорема об изменении импульса тела утверждает, что импульс силы равен изменению импульса тела: I = Δp. Она связывает действие силы за время с результатом этого действия для движения тела. С её помощью можно находить скорость после взаимодействия, даже если ускорение не требуется определять отдельно.

Как это устроено

Одна и та же сила может действовать на тело недолго или долго, и результат будет различаться. Пока сила действует, скорость тела изменяется, а значит, меняется и его импульс. При постоянной силе каждую секунду изменение импульса одинаково, поэтому за большее время набирается большее суммарное изменение. Это и отражает произведение I = FΔt.

Импульс силы и изменение импульса — векторы, поэтому для них важны не только численные значения, но и направления. Направление импульса силы совпадает с направлением силы, а направление изменения импульса показывает, куда направлена разность p₂ − p₁. В расчётах удобно выбрать ось: вектор вдоль её положительного направления записывают со знаком плюс, а противоположный — со знаком минус. Тогда вычитание векторов выполняется через вычитание их проекций.

В формуле I = FΔt сила измеряется в ньютонах, а время — в секундах, поэтому единица произведения — Н·с. Из второго закона Ньютона следует 1 Н = 1 кг·м/с². Если умножить это выражение на секунду, получим 1 Н·с = 1 кг·м/с. Совпадение с единицей импульса тела согласуется с теоремой I = Δp.

Для постоянной силы второй закон Ньютона можно записать через изменение скорости: F = ma, а ускорение a = (v₂ − v₁)/Δt. Подставим это выражение: F = m(v₂ − v₁)/Δt. После умножения на Δt получаем FΔt = mv₂ − mv₁, то есть I = p₂ − p₁ = Δp. Так теорема об изменении импульса следует из второго закона Ньютона.

Если сила меняется со временем, одной формулы I = FΔt с постоянным значением F недостаточно. На графике зависимости силы от времени импульс за выбранный промежуток равен площади между графиком и осью времени. Для постоянной силы график образует прямоугольник, площадь которого равна высоте F, умноженной на ширину Δt. Участки графика ниже оси времени учитывают со знаком минус, поскольку там сила направлена противоположно выбранному положительному направлению.

Для постоянной силы за время от 0 до 3 с площадь прямоугольника под графиком равна импульсу: I = FΔt.

Импульс силы и его связь с изменением импульса тела

Таблица помогает различить причину изменения движения — действие силы — и его результат, изменение импульса тела. Сравнивая формулы, можно увидеть, что эти величины связаны теоремой I = Δp. При решении задачи сначала определите, что именно известно и что требуется найти.

Разбор задач

Задача 1. На тело в течение 3 с действует постоянная сила 4 Н. Найдём импульс силы. Поскольку сила постоянна и её направление не меняется, используем I = FΔt.

1. Запишем данные: F = 4 Н, Δt = 3 с.
2. Подставим их в формулу: I = 4 · 3 = 12 Н·с.
3. Единицу запишем как ньютон-секунду; при необходимости это также 12 кг·м/с.

Ответ: импульс силы равен 12 Н·с и направлен по силе. Произведение силы на время показывает, что именно длительность действия учитывается в результате. В этом примере направление задано направлением приложенной силы.

Задача 2. Тело массой 2 кг двигалось со скоростью 3 м/с, а после действия силы стало двигаться со скоростью 5 м/с в том же направлении. Найдём импульс силы через изменение импульса тела. Поскольку направление движения не изменилось, обе скорости можно считать положительными проекциями на одну ось.

1. Запишем данные: m = 2 кг, v₁ = 3 м/с, v₂ = 5 м/с.
2. Вычислим изменение импульса: Δp = m(v₂ − v₁) = 2 · (5 − 3) = 4 кг·м/с.
3. Применим теорему об изменении импульса: I = Δp = 4 Н·с.

Ответ: импульс силы равен 4 Н·с и направлен по движению тела. Вычитание начального импульса обязательно: конечная скорость сама по себе не показывает, насколько движение изменилось. Здесь скорость выросла, поэтому изменение импульса положительно.

Задача 3. На тело массой 1 кг действует сила 6 Н в течение 2 с, причём начальная скорость 1 м/с направлена противоположно силе. Требуется найти конечную скорость. Выберем направление силы за положительное, чтобы учесть противоположное направление начальной скорости знаком минус.

1. Запишем проекции: F = +6 Н, v₁ = −1 м/с, m = 1 кг, Δt = 2 с.
2. Используем I = Δp: FΔt = m(v₂ − v₁). Подставим значения: 6 · 2 = 1 · (v₂ − (−1)).
3. Получим 12 = v₂ + 1, откуда v₂ = 11 м/с. Положительный знак означает, что конечная скорость направлена по силе.

Ответ: конечная скорость равна 11 м/с по направлению силы. Сила не просто увеличила скорость по модулю: сначала она затормозила тело, двигавшееся в противоположную сторону, а затем разогнала его. Знак начальной скорости позволил учесть оба этапа в одном расчёте.

Типичные ошибки

Ошибка — считать импульс силы скаляром и не указывать его направление. Её допускают, когда в вычислении оставляют только числовые значения силы и времени. Проверьте себя: укажите, куда направлена сила, и задайте такое же направление для импульса силы.

Ошибка — вместо изменения импульса использовать только конечный импульс тела. Так можно поступить по невнимательности, если не заметить слово «изменение» в условии. Проверьте запись: должно быть Δp = p₂ − p₁, причём начальный импульс необходимо вычесть.

Ошибка — не учитывать направления скоростей при вычислении Δp. Если движение направлено против выбранной оси, соответствующая проекция скорости отрицательна, даже если модуль скорости положителен. Перед подстановкой изобразите ось или явно задайте знаки проекций и проверьте, совпадает ли знак ответа с ожидаемым направлением.

Ошибка — записывать единицу импульса силы как Н/с. Такое выражение означает деление силы на время, хотя в формуле I = FΔt они перемножаются. Проверьте размерность: ньютон умножается на секунду, поэтому единица — Н·с, а не Н/с.

Связь с другими темами

Для изучения импульса силы нужно знать импульс тела p = mv и второй закон Ньютона. Первый связывает импульс с массой и скоростью, а второй объясняет, как сила меняет движение. Теорема об изменении импульса соединяет эти понятия в одной формуле.

Импульс силы особенно полезен при разборе столкновений, отдачи и других взаимодействий, происходящих за короткое время. В таких случаях сила может быстро меняться, а график F(t) помогает оценить её действие за весь промежуток. Это позволяет сосредоточиться на общем изменении импульса, не прослеживая движение в каждый момент.

Теорема об изменении импульса используется при изучении закона сохранения импульса. Для системы тел импульсы отдельных тел перераспределяются при взаимодействии, а при определённых условиях суммарный импульс системы сохраняется. Понимание того, как сила изменяет импульс одного тела, помогает разобраться в этом законе.

Что запомнить

• Для постоянной силы I = FΔt.
• Импульс силы — векторная величина.
• Направление импульса силы совпадает с направлением силы.
• Импульс силы равен изменению импульса тела: I = Δp.
• Единица импульса силы — Н·с, или кг·м/с.
• Для переменной силы импульс за промежуток времени равен площади под графиком F(t).