"Физика (базовый уровень)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.
Импульс помогает описывать движение тел с учётом их массы и скорости, а закон его сохранения — предсказывать результат взаимодействия. В замкнутой системе суммарный импульс до столкновения или разлёта равен суммарному импульсу после него. При этом импульсы отдельных тел могут измениться: они перераспределяются между телами. Чтобы правильно применять закон, нужно учитывать направления движения и проверять, можно ли пренебречь внешними силами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Здесь p обозначает импульс, m — массу, v — скорость; единица импульса в СИ — кг·м/с. Эта величина нужна, чтобы учитывать одновременно, насколько тело массивно и насколько быстро оно движется.
Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему: pсист = p₁ + p₂ + … . Складывают именно векторы, а не только их числовые значения, поэтому направления движения влияют на результат. Так можно описать движение всей системы, даже если импульсы её отдельных тел различаются.
Замкнутая система тел — система, на которую внешние силы не действуют либо их действие можно считать пренебрежимо малым. Внешними называют силы со стороны тел, не включённых в рассматриваемую систему. Понятие нужно, чтобы понять, когда можно ожидать неизменности суммарного импульса.
Закон сохранения импульса утверждает: в замкнутой системе векторная сумма импульсов тел не меняется со временем. Иными словами, импульс системы до взаимодействия равен её импульсу после взаимодействия. Это позволяет находить неизвестные скорости, не разбирая подробно все этапы столкновения.
Движущееся тело переносит импульс, величина которого зависит и от массы, и от скорости: при одной скорости более массивное тело имеет больший импульс, а при одной массе более быстрое — тоже. Такое сочетание важно при сравнении тел, например грузовика и мяча: одной скорости для оценки движения недостаточно. Поскольку скорость — вектор, её направление задаёт направление импульса, а масса лишь меняет его величину.
Рассмотрим взаимодействие двух тел, например их столкновение. По третьему закону Ньютона первое тело действует на второе силой, а второе на первое — силой, равной ей по модулю и противоположной по направлению. Эти силы называют внутренними, потому что оба тела включены в рассматриваемую систему.
Сила, действующая в течение некоторого времени, изменяет импульс тела: изменение импульса связано с силой и длительностью её действия. Во время взаимодействия силы на тела равны по модулю и противоположны, а действуют они одно и то же время. Поэтому изменения импульсов тел тоже равны по модулю и противоположны: прибавка импульса одного компенсирует убыль другого.
В системе из нескольких тел внутренние силы возникают попарно и не меняют суммарный импульс всей системы: их взаимные изменения компенсируются. Но внешняя сила не обязана иметь пару внутри этой системы, поэтому она может изменить общий импульс. Следовательно, для сохранения суммарного импульса нужно, чтобы система была замкнутой или чтобы влиянием внешних сил можно было пренебречь.
В векторной форме закон записывают так: p₁ + p₂ + … = p₁′ + p₂′ + …, где штрихом обозначены импульсы после взаимодействия. Равенство означает, что совпадают и величины, и направления суммарных импульсов до и после события. При решении задач удобно выбрать оси и записывать проекции векторов со знаками: тогда противоположные направления автоматически учитываются.
| Величина или условие | Обозначение и формула | Направление или смысл | Единица СИ |
|---|---|---|---|
| Импульс тела | p = mv | Совпадает с направлением скорости | кг·м/с |
| Импульс системы тел | pсист = p₁ + p₂ + … | Векторная сумма импульсов тел системы | кг·м/с |
| Условие замкнутости системы | Внешние силы отсутствуют или пренебрежимо малы | Внешнее воздействие не меняет заметно импульс системы | Не применима |
| Закон сохранения импульса | pсист до = pсист после | Суммарный импульс системы постоянен | кг·м/с |
Сначала определите, для какого тела или системы записывается формула, а затем проверьте направление векторов. В задачах на прямолинейное движение выберите положительное направление и учитывайте противоположное движение отрицательным знаком. Единицу указывайте для импульса, но не для условия замкнутости.
Тело массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Найдём его импульс и укажем направление. Направление скорости в условии не задано, поэтому ответ можно указать относительно неё.
Ответ: 6 кг·м/с, по направлению скорости.
Два тела массами 1 кг и 2 кг движутся навстречу со скоростями 4 м/с и 1 м/с. Направление движения первого тела примем за положительное. Суммарный импульс можно найти как проекцию на эту ось; для применения закона сохранения отдельно потребовалось бы проверить замкнутость системы.
Ответ: 2 кг·м/с в направлении движения первого тела. Сведения о внешних силах не даны, поэтому само значение суммы найти можно, но считать её сохраняющейся можно лишь при замкнутости системы.
Тележка массой 3 кг покоится, а человек массой 60 кг прыгает с неё горизонтально со скоростью 2 м/с относительно земли. Считаем систему «человек и тележка» замкнутой. До прыжка оба покоятся, поэтому начальный суммарный импульс равен нулю.
Ответ: скорость тележки равна 40 м/с в сторону, противоположную прыжку человека.
Ошибка — считать импульс скаляром и складывать только модули. Так поступают, когда забывают, что направление задаётся скоростью; в результате встречные импульсы ошибочно складываются. Проверьте себя: выберите ось и поставьте противоположно направленным скоростям разные знаки.
Нельзя без оговорок применять закон сохранения к незамкнутой системе: внешние силы могут изменить её суммарный импульс. Ошибка возникает, если внимание сосредоточено на столкновении и внешнее воздействие не проверяют. Перед расчётом перечислите внешние силы и оцените, можно ли пренебречь их действием за время взаимодействия.
Импульс тела и импульс системы — не одно и то же. Если подставить импульс одного тела вместо суммы импульсов, взаимодействие остальных тел окажется неучтённым. Проверьте запись: для системы должны присутствовать слагаемые для всех её тел и направления каждого импульса.
Сохранение импульса системы не означает, что скорости тел до и после взаимодействия одинаковы. После столкновения скорости могут измениться, потому что тела обмениваются импульсом; сохраняется только их векторная сумма. Для проверки запишите отдельно импульсы каждого тела до и после, а затем сравните именно общие суммы.
Для работы с импульсом нужны понятия массы и скорости, а также умение обращаться с векторами. Второй закон Ньютона связывает действие силы с изменением движения, а третий объясняет, почему силы взаимодействия двух тел равны и противоположны. На этой основе становится понятным, откуда берётся сохранение суммарного импульса.
Закон используют при анализе столкновений, отдачи и разлёта тел после взаимодействия. Он особенно удобен, когда взаимодействие длится недолго и внешними силами можно пренебречь. При решении важно выбрать систему тел так, чтобы рассматриваемые взаимодействующие тела входили в неё все вместе.
Почему импульс тела является векторной величиной?
Импульс равен произведению массы на скорость: p = mv. Масса — скаляр, а скорость имеет направление, поэтому импульс направлен так же, как скорость.
Что значит считать систему тел замкнутой?
Это значит, что внешние силы на систему не действуют или их влиянием можно пренебречь. Внутренние силы между телами при этом могут быть значительными.
Почему при столкновении сохраняется импульс системы, но не каждого тела?
Во время столкновения тела действуют друг на друга силами, поэтому импульс каждого из них меняется. Изменения взаимно компенсируются, и суммарный импульс системы остаётся прежним, если система замкнута.
Как складывать импульсы тел, движущихся в разные стороны?
Импульсы складывают как векторы. На прямой выберите положительное направление: импульс тела, движущегося туда, запишите со знаком «плюс», а противоположно направленный — со знаком «минус».
Можно ли применять закон сохранения импульса, если на систему действуют внешние силы?
В общем случае внешние силы могут изменить суммарный импульс системы, поэтому закон сохранения в таком виде не применяют. Если их действие за время взаимодействия пренебрежимо мало, систему можно приближённо считать замкнутой.
3. Закон сохранения импульса
