48. Работа в термодинамике

Определения и обозначения

Работа газа — энергия, переданная газом при изменении его объёма. Её обозначают A, а единицей измерения в СИ служит джоуль (Дж). Работа показывает, сколько энергии газ передал окружающим телам, например поршню. Если объём не меняется, перемещения границы нет и газ не совершает такую работу.

Работа внешних сил — работа, которую окружающие тела совершают над газом. При расширении она имеет знак, противоположный работе газа: газ толкает поршень наружу, а внешние силы обычно направлены внутрь. Это различие помогает не перепутать, кто именно передаёт энергию и чей знак указан в задаче.

Квазистатический процесс — достаточно медленное изменение состояния, при котором давление газа можно считать определённым в каждый момент. При таком процессе газ успевает почти прийти в равновесие, поэтому его давление можно связывать с каждым значением объёма. Это позволяет описывать процесс линией на диаграмме p(V) и вычислять работу по участкам этой линии.

Как это устроено

Представим газ под подвижным поршнем. Молекулы газа ударяются о поршень и создают давление, а значит, действуют на него с силой. Если поршень сдвигается, сила действует на некотором пути и совершает механическую работу. При неизменном объёме поршень неподвижен, поэтому передача энергии в виде работы отсутствует.

Пусть площадь поршня равна S, а его малое перемещение — dx. Сила давления равна F = pS, поэтому малая работа газа составляет δA = F dx = pS dx. Но изменение объёма при таком перемещении равно dV = S dx: площадь поршня умножается на расстояние, на которое он сдвинулся. Подставляя это выражение, получаем δA = p dV, и площадь исчезает потому, что уже учтена в изменении объёма.

Если давление постоянно, во время всего изменения объёма газ действует с одной и той же силой на поршень. Поэтому работу можно найти, умножив давление на изменение объёма: A = p(V₂ − V₁), где V₁ — начальный, а V₂ — конечный объём. При расширении разность положительна, при сжатии отрицательна. Следовательно, знак результата сразу показывает направление изменения объёма.

Если давление меняется, нельзя считать, что на всём пути оно равно одному значению. Процесс мысленно делят на множество малых участков, на каждом из которых работу можно оценить как δA = p dV, а затем складывают эти вклады. На графике p(V) каждому участку соответствует узкая полоска: её высота задаётся давлением, а ширина — изменением объёма. Суммарная площадь таких полос под графиком даёт модуль работы между начальным и конечным объёмами.

В замкнутом цикле газ в конце возвращается к исходному состоянию, но по пути может расширяться и сжиматься. Поэтому складывают работы на всех участках цикла, учитывая их знаки, а не только начальное и конечное состояния. На диаграмме p(V) итоговая работа равна площади, ограниченной циклом. Её знак зависит от направления обхода: при обходе в одну сторону работа газа положительна, при обратном — отрицательна.

Работа газа в разных процессах

Сначала определите, какое условие сохраняется: давление или объём. Затем выберите соответствующую строку и проверьте, требуется ли учитывать изменение давления по графику. В последнем столбце знак указан для работы газа, а не внешних сил.

Разбор задач

Задача 1. Газ при постоянном давлении 1,5 · 10⁵ Па расширился от 2,0 л до 5,0 л. Найдём работу газа. Поскольку давление постоянно, применима формула изобарного процесса. Расширение означает, что итоговая работа должна быть положительной.

1. Запишем формулу: A = p(V₂ − V₁).
2. Переведём объёмы в кубические метры: V₁ = 0,002 м³, V₂ = 0,005 м³, поэтому ΔV = 0,003 м³.
3. Подставим значения: A = 1,5 · 10⁵ · 0,003 = 450 Дж.

Ответ: работа газа равна 450 Дж. Положительный знак согласуется с расширением: газ передал энергию поршню.

Задача 2. Газ при постоянном давлении 2,0 · 10⁵ Па сжали от 6,0 л до 3,0 л. Нужно найти именно работу газа, поэтому сохраняем порядок «конечный объём минус начальный». Уменьшение объёма должно дать отрицательный результат.

1. Используем A = p(V₂ − V₁).
2. Переведём объёмы: V₁ = 0,006 м³, V₂ = 0,003 м³, значит, ΔV = −0,003 м³.
3. Вычислим: A = 2,0 · 10⁵ · (−0,003) = −600 Дж.

Ответ: работа газа равна −600 Дж. Минус показывает, что работу совершили над газом внешние силы; их работа при этом равна +600 Дж.

Задача 3. На диаграмме p(V) процесс идёт по прямой от состояния (V₁ = 2,0 л, p₁ = 1,0 · 10⁵ Па) до состояния (V₂ = 6,0 л, p₂ = 3,0 · 10⁵ Па). Давление меняется линейно, поэтому под графиком получается трапеция. Её площадь равна среднему давлению, умноженному на изменение объёма.

1. Переведём объёмы: V₁ = 0,002 м³, V₂ = 0,006 м³; ΔV = 0,004 м³.
2. Найдём среднее давление: pср = (p₁ + p₂) / 2 = 2,0 · 10⁵ Па.
3. Вычислим работу: A = pсрΔV = 2,0 · 10⁵ · 0,004 = 800 Дж.

Ответ: работа газа равна 800 Дж. Объём увеличился, поэтому работа положительна; площадь трапеции на диаграмме соответствует её модулю.

Типичные ошибки

• Считать работу газа положительной и при расширении, и при сжатии. Так бывает, если не следить за разностью V₂ − V₁ и путать работу газа с работой внешних сил. Проверьте знак: при расширении объём растёт и A > 0, при сжатии он уменьшается и A < 0.
• Подставлять объём в литрах при давлении в паскалях. Тогда произведение не получится в джоулях, потому что 1 Па · м³ = 1 Дж. Перед вычислением переведите литры в кубические метры: 1 л = 0,001 м³.
• Применять A = p(V₂ − V₁) при переменном давлении, подставляя произвольное значение p. Формула напрямую работает для изобарного процесса, а при изменении давления разные участки дают разные вклады. Проверьте условие задачи: если p не постоянно, используйте площадь под графиком или суммирование малых работ.
• Считать площадь под графиком готовым ответом без учёта знака. Геометрическая площадь задаёт модуль работы, но не показывает сама по себе, расширялся газ или сжимался. Сравните начальный и конечный объёмы: рост означает положительную работу газа, уменьшение — отрицательную.

Связь с другими темами

Для понимания работы газа нужны понятия механической работы, силы и перемещения, а также смысл давления и объёма. Связь F = pS объясняет, почему движение поршня приводит к передаче энергии. Работа в термодинамике используется вместе с теплопередачей при изучении первого закона термодинамики. Она также помогает анализировать работу тепловых машин и циклических процессов, где газ многократно расширяется и сжимается.

Что запомнить

• Работа газа возникает при изменении его объёма.
• При расширении газ совершает положительную работу.
• При сжатии работа газа отрицательна.
• При постоянном давлении A = p(V₂ − V₁).
• При неизменном объёме работа газа равна нулю.
• На диаграмме p(V) работа связана с площадью под графиком.