§ 76. Работа в термодинамике

Определения и обозначения

Термодинамическая работа — передача энергии при изменении объёма тела под действием внешних сил. Она отличается от обычной механической работы движущегося тела тем, что связана именно с изменением объёма системы и обменом энергией через границу тела. Это понятие позволяет описывать работу газа даже без рассмотрения движения всего газа как единого тела.

Работа газа — работа, которую газ совершает при расширении или сжатии, действуя на окружающие тела. В параграфе для постоянного давления используется запись A′ = pΔV = p(V₂ − V₁), где A′ — работа газа, p — давление, а V₁ и V₂ — начальный и конечный объёмы. Формула нужна, чтобы связать механическое действие газа с измеряемыми величинами.

Изобарный процесс — процесс, протекающий при постоянном давлении. При таком условии сила давления на поршень не меняется, поэтому работу можно вычислить как произведение давления на изменение объёма. Именно для изобарного процесса формула A′ = pΔV применяется непосредственно.

p-V диаграмма — график зависимости давления p от объёма V. По нему можно увидеть, как менялось состояние газа, и определить работу как площадь под линией процесса. Такая диаграмма особенно полезна, когда давление в ходе процесса непостоянно.

Как это устроено

Представим газ в цилиндре с подвижным поршнем. Молекулы газа ударяются о поршень и создают давление, а значит, действуют на него с силой. Если поршень перемещается на некоторое расстояние, сила проходит путь, поэтому газ совершает работу над поршнем: энергия газа передаётся внешнему телу.

При постоянном давлении сила давления не изменяется, поскольку F = pS, где S — площадь поршня. Механическая работа равна произведению силы на перемещение, а произведение S на перемещение поршня равно изменению объёма ΔV. Поэтому работа газа принимает вид A′ = pΔV = p(V₂ − V₁).

При расширении поршень движется наружу, объём увеличивается, и V₂ − V₁ положительно. Поэтому положительна и работа газа: газ отдаёт часть энергии окружающим телам. При сжатии объём уменьшается, разность V₂ − V₁ отрицательна, поэтому работа газа отрицательна; это означает, что работу совершают внешние силы над газом.

Знак зависит от того, чью работу считают. В принятом здесь соглашении A′ — работа самого газа, поэтому расширение даёт плюс, а сжатие — минус. Работа внешних сил над газом в том же процессе имеет противоположный знак, потому что внешние силы действуют в направлении, обратном перемещению поршня при расширении.

Если давление меняется, одной величины p для формулы pΔV уже недостаточно: нужно учитывать давление на каждом участке изменения объёма. На p-V диаграмме маленькому изменению объёма соответствует узкая полоска площади pΔV, а вся работа складывается из таких полосок. Поэтому работа равна площади под линией процесса между начальным и конечным объёмами.

Работа газа при изменении объёма

Сначала определите, увеличился или уменьшился объём, а затем выберите знак работы. Если давление постоянно, достаточно подставить его и изменение объёма в формулу; при переменном давлении удобнее использовать площадь под графиком.

Таблица помогает не смешивать работу газа с работой внешних сил. Для внешних сил знак в том же процессе будет противоположным.

Разбор задач

Задача 1

Газ при постоянном давлении 100 кПа расширился от 2 до 5 л. Найдём работу газа. Поскольку процесс изобарный, применяем A′ = p(V₂ − V₁), но сначала переводим величины в СИ.

1. p = 100 кПа = 100 000 Па.
2. V₁ = 2 л = 0,002 м³, V₂ = 5 л = 0,005 м³.
3. ΔV = 0,005 − 0,002 = 0,003 м³.
4. A′ = 100 000 · 0,003 = 300 Дж.

Ответ: работа газа равна 300 Дж. Она положительна, потому что газ расширяется.

Задача 2

Газ при постоянном давлении 200 кПа сжали от 6 до 2 л. Здесь конечный объём меньше начального, поэтому заранее ожидаем отрицательный результат для работы газа.

1. p = 200 000 Па, V₁ = 0,006 м³, V₂ = 0,002 м³.
2. ΔV = V₂ − V₁ = 0,002 − 0,006 = −0,004 м³.
3. A′ = 200 000 · (−0,004) = −800 Дж.

Ответ: A′ = −800 Дж. Минус показывает, что работу над газом совершали внешние силы, сжимая его.

Задача 3

Процесс на p-V диаграмме изображён наклонной прямой от состояния (V₁, p₁) к состоянию (V₂, p₂). Давление меняется линейно, поэтому под графиком образуется трапеция, а не прямоугольник.

1. Основания трапеции равны p₁ и p₂, а её высота по оси объёма равна V₂ − V₁.
2. Площадь под графиком равна среднему давлению, умноженному на изменение объёма.
3. A′ = ½(p₁ + p₂)(V₂ − V₁).

Ответ: работа газа равна A′ = (p₁ + p₂)(V₂ − V₁) / 2. При расширении эта величина положительна, если давления и объёмы заданы в согласованных единицах.

Типичные ошибки

Литры без перевода в кубические метры. Ошибка возникает из-за привычки считать объём в литрах, хотя давление указано в паскалях. Проверка проста: перед вычислением приведите единицы к СИ; тогда Па · м³ даст джоули.

Положительная работа при сжатии. Так считают, когда используют только модуль изменения объёма и забывают о разности V₂ − V₁. Сравните начальный и конечный объёмы: при сжатии V₂ − V₁ должно быть отрицательным.

Смешение работы газа и работы внешних сил. Причина ошибки — одинаковое описание процесса с разных точек зрения. Уточните обозначение: работа газа при сжатии отрицательна, а работа внешних сил над газом положительна.

Использование одного постоянного давления при любом процессе. Формула A′ = pΔV в таком виде предполагает изобарный процесс. Если давление меняется, проверьте график и найдите площадь под линией процесса.

Связь с другими темами

До изучения работы в термодинамике нужны понятия давления, силы давления и площади поверхности, а также формула механической работы. Связь F = pS объясняет, почему при движении поршня механическая работа превращается в выражение через давление и изменение объёма.

Работа газа входит в первый закон термодинамики, где учитывается вместе с изменением внутренней энергии и количеством теплоты. p-V диаграммы позволяют сравнивать процессы и находить работу даже тогда, когда давление меняется.

Что запомнить

• Работа газа связана с изменением его объёма.
• При постоянном давлении A′ = p(V₂ − V₁).
• При расширении работа газа положительна.
• При сжатии работа газа отрицательна.
• При неизменном объёме газ не совершает термодинамической работы.
• На p-V диаграмме работа равна площади под графиком процесса.