§ 26. Работа в термодинамике

Определения и обозначения

Работа газа — энергия, которую газ передаёт окружающим телам, когда меняется его объём. При расширении работа газа положительна, а при сжатии отрицательна: знак показывает направление передачи энергии. Это понятие помогает установить, совершает ли газ работу над внешними телами или внешние тела действуют на газ.

Работа в термодинамике — способ передачи энергии, связанный с изменением объёма системы. Она описывает действие газа на подвижную границу, например поршень, и не является изменением внутренней энергии. Различие нужно, чтобы отдельно учитывать энергию, переданную работой, и энергию, связанную с состоянием частиц вещества.

Изобарный процесс — процесс, протекающий при постоянном давлении p. В этом случае работа равна произведению давления на изменение объёма: A = p(V₂ − V₁). Давление постоянно, поэтому оно одинаково на всём пути расширения или сжатия и может быть вынесено за расчёт изменения объёма.

p–V диаграмма — график зависимости давления от объёма в процессе. По нему работу газа находят как площадь под линией процесса между начальным и конечным объёмами. Диаграмма особенно полезна, когда давление меняется и одной формулы с постоянным p недостаточно.

Как это устроено

Представим газ в цилиндре с подвижным поршнем. Частицы газа сталкиваются с поршнем и давят на него, поэтому при расширении поршень перемещается, а газ совершает механическую работу. Энергия при этом передаётся от газа внешнему телу; при сжатии направление действия меняется, и внешние тела совершают работу над газом.

Величина работы связана с силой давления и перемещением границы газа. Давление показывает силу, приходящуюся на единицу площади, а перемещение поршня меняет занимаемый газом объём. При постоянном давлении объединение этих величин даёт A = pΔV: давление умножают на изменение объёма, а не на сам объём.

Знак работы удобно определять через ΔV = V₂ − V₁, где V₁ — начальный объём, а V₂ — конечный. При расширении V₂ больше V₁, поэтому ΔV положительно и положительна работа газа. При сжатии V₂ меньше V₁, поэтому ΔV отрицательно; такой знак означает, что энергия передаётся газу внешними телами.

На p–V диаграмме каждому состоянию газа соответствуют значения давления и объёма, а линия показывает, как меняется состояние в ходе процесса. Небольшие участки изменения объёма дают небольшие вклады в работу, и их сумма соответствует площади под линией процесса. Поэтому при постоянном давлении площадь прямоугольника равна pΔV, а при меняющемся давлении форму площади определяет сам график.

Если давление меняется, нельзя найти работу, просто подставив в A = pΔV одно выбранное значение давления. На разных участках расширения или сжатия газ действует с разным давлением, поэтому вклад в работу тоже меняется. Нужно учитывать весь путь процесса по p–V диаграмме, определяя площадь под графиком или складывая работы отдельных участков.

Работа газа при изменении объёма

Сначала найдите, как изменился объём: сравните конечное и начальное значения. Затем определите знак работы и выберите способ расчёта: формулу для постоянного давления или график для переменного. В изохорном процессе объём постоянен, поэтому работа расширения равна нулю.

Разбор задач

Задача 1

Газ при постоянном давлении 2·10⁵ Па расширился на 0,003 м³. Найдём работу газа. Поскольку давление не меняется, подходит формула A = pΔV; расширение означает положительное изменение объёма.

1. Запишем известные величины: p = 2·10⁵ Па, ΔV = 0,003 м³. Единицы уже приведены к паскалям и кубическим метрам.
2. Подставим значения: A = pΔV = 2·10⁵ · 0,003 = 600 Дж. Паскаль, умноженный на кубический метр, равен джоулю.

Ответ: работа газа равна 600 Дж. Положительный результат согласуется с расширением.

Задача 2

Газ при постоянном давлении 1,5·10⁵ Па сжали от 0,010 м³ до 0,006 м³. Требуется найти работу газа и объяснить её знак. При сжатии объём уменьшается, поэтому важно вычитать именно начальный объём из конечного.

1. Запишем данные: p = 1,5·10⁵ Па, V₁ = 0,010 м³, V₂ = 0,006 м³. Находим изменение объёма: ΔV = V₂ − V₁ = 0,006 − 0,010 = −0,004 м³.
2. Используем формулу для постоянного давления: A = pΔV = 1,5·10⁵ · (−0,004) = −600 Дж. Минус получился из отрицательного изменения объёма, а не из значения давления.

Ответ: A = −600 Дж. Отрицательный знак показывает, что при сжатии работу над газом совершают внешние тела.

Задача 3

Сначала газ расширяется от 0,002 до 0,005 м³ при давлении 1·10⁵ Па, затем при постоянном объёме давление возрастает до 3·10⁵ Па. Найдём полную работу как сумму работ на двух участках. Участки нужно рассмотреть отдельно, потому что на втором объём не меняется.

1. На первом участке давление постоянно, а изменение объёма равно 0,005 − 0,002 = 0,003 м³. Работа расширения: A₁ = pΔV = 1·10⁵ · 0,003 = 300 Дж.
2. На втором участке объём постоянен, поэтому ΔV = 0 и A₂ = 0. Рост давления сам по себе не совершает работу расширения, если граница газа не перемещается.
3. Сложим работы участков: A = A₁ + A₂ = 300 + 0 = 300 Дж. Такой же результат соответствует площади под графиком на первом участке.

Ответ: полная работа газа равна 300 Дж.

Типичные ошибки

• Считать работу газа при сжатии положительной — значит не учитывать принятое правило знаков. Так ошибаются, когда связывают знак с нагреванием или охлаждением газа, а не с изменением объёма. Проверьте расчёт по ΔV = V₂ − V₁: при сжатии оно отрицательно.

• Подставлять переменное давление в A = pΔV, будто оно не меняется на всём процессе. Ошибка возникает из-за привычки использовать одну формулу для любого графика. Проверьте условие: если давление меняется, учитывайте площадь под графиком или разбейте процесс на участки.

• Находить изменение объёма как V₁ − V₂ вместо V₂ − V₁. Так легко потерять знак, если не различать начальное и конечное состояния. Подпишите V₁ и V₂, затем проверьте: расширение должно дать ΔV > 0, а сжатие — ΔV < 0.

• Отождествлять работу газа с изменением его внутренней энергии. Их путают, потому что обе величины описывают энергетические изменения, однако работа связана с передачей энергии через изменение объёма. Проверьте, что именно рассчитываете: для работы нужны давление и изменение объёма, а не только сведения о состоянии частиц.

Связь с другими темами

Для изучения работы газа нужны понятия давления, объёма и механической работы, а также единицы Па, м³ и Дж. В первом законе термодинамики работа входит в энергетический баланс вместе с количеством теплоты и изменением внутренней энергии, поэтому важно не смешивать эти величины. p–V диаграмма также пригодится при изучении тепловых машин и циклических процессов: по ней можно анализировать работу на отдельных участках и за полный цикл.

Что запомнить

• При постоянном давлении работа газа равна A = p(V₂ − V₁).
• При расширении работа газа положительна.
• При сжатии работа газа отрицательна.
• При неизменном объёме газ не совершает работу расширения.
• Работа газа на p–V диаграмме связана с площадью под графиком процесса.
• Давление в формуле должно быть выражено в паскалях, объём — в кубических метрах, тогда работа получится в джоулях.