§ 5.1. Работа в термодинамике

Определения и обозначения

Работа газа — энергия, переданная газом внешним телам при изменении его объёма. Она обозначается буквой A и показывает, сколько энергии газ отдаёт при перемещении поршня или другой границы. Если объём не меняется, передача энергии в форме механической работы отсутствует.

Элементарная работа газа — работа на малом изменении объёма: δA = p·dV. Здесь p — давление газа, а dV — очень малое изменение объёма. Эта запись нужна для процесса, в котором давление может изменяться от одного момента к другому.

Работа газа при постоянном давлении равна произведению давления на изменение объёма: A = p(V₂ − V₁). Индексы 1 и 2 обозначают начальное и конечное состояния газа. Формула удобна для изобарного процесса, то есть процесса при неизменном давлении.

Работа внешних сил — работа, совершаемая над газом. При квазистатическом процессе, который проходит достаточно медленно и через последовательность равновесных состояний, она противоположна по знаку работе газа: Aвнеш = −Aгаза. Поэтому при сжатии внешние силы совершают положительную работу над газом.

Как это устроено

При расширении газ давит на поршень и перемещает его наружу. Сила давления направлена туда же, куда и перемещение поршня, поэтому газ совершает механическую работу. Чем больше давление, путь перемещения и площадь поршня, тем больше переданная энергия.

Пусть площадь поршня равна S, а он переместился на малое расстояние dl. Сила давления равна F = pS, поэтому элементарная механическая работа δA = F·dl = pS·dl. Так как S·dl = dV, получаем δA = p·dV.

Работа зависит не только от начального и конечного состояний, но и от пути между ними. Например, газ может расшириться от одного объёма до другого при высоком или при низком давлении. В первом случае площадь под графиком больше, поэтому больше и совершённая работа.

При расширении изменение объёма положительно: ΔV = V₂ − V₁ > 0, поэтому при положительном давлении A = pΔV > 0. При сжатии конечный объём меньше начального, значит ΔV < 0 и работа газа отрицательна. Это означает, что энергия передаётся газу от внешних сил, а не газом наружу.

На p–V диаграмме по горизонтали откладывают объём, а по вертикали — давление. Работа газа численно равна площади под графиком процесса между V₁ и V₂. При движении вправо, то есть при расширении, работу считают положительной, а при движении влево, при сжатии, — отрицательной.

Работа газа при различных изменениях объёма

В таблице сначала определите, увеличивается или уменьшается объём, а затем установите знак работы газа. Для постоянного давления достаточно применить формулу A = pΔV, а при переменном давлении нужно найти площадь под графиком. В цикле учитывают суммарную работу за весь замкнутый процесс.

Разбор задач

Задача 1

Газ расширяется при постоянном давлении p = 2·10⁵ Па от V₁ = 2 л до V₂ = 5 л. Требуется найти работу газа. Давление постоянно, поэтому применяем формулу для изобарного процесса.

1. Переведём объёмы в СИ: V₁ = 2·10⁻³ м³, V₂ = 5·10⁻³ м³.
2. Найдём изменение объёма: ΔV = 5·10⁻³ − 2·10⁻³ = 3·10⁻³ м³.
3. Вычислим работу: A = pΔV = 2·10⁵ · 3·10⁻³ = 600 Дж.

Ответ: A = 600 Дж. Работа положительна, потому что газ расширяется.

Задача 2

Поршень сжимает газ при постоянном давлении p = 1,5·10⁵ Па, уменьшая объём с 6 л до 2 л. Нужно определить работу газа и работу внешних сил. Сначала найдём работу газа с учётом направления изменения объёма.

1. Переведём объёмы: V₁ = 6·10⁻³ м³, V₂ = 2·10⁻³ м³.
2. Изменение объёма равно ΔV = 2·10⁻³ − 6·10⁻³ = −4·10⁻³ м³.
3. Работа газа: Aгаза = pΔV = 1,5·10⁵ · (−4·10⁻³) = −600 Дж.
4. Для квазистатического сжатия Aвнеш = −Aгаза = 600 Дж.

Ответ: работа газа равна −600 Дж, работа внешних сил — 600 Дж. Отрицательный знак первой величины показывает, что энергия поступает к газу.

Задача 3

Давление газа линейно уменьшается от p₁ = 4·10⁵ Па до p₂ = 2·10⁵ Па при расширении от V₁ = 1 л до V₂ = 5 л. На p–V диаграмме участок процесса образует наклонную границу трапеции. Поэтому нельзя просто умножить одно из давлений на изменение объёма.

1. Переведём объёмы: V₁ = 1·10⁻³ м³, V₂ = 5·10⁻³ м³.
2. Найдём изменение объёма: ΔV = 4·10⁻³ м³.
3. Среднее давление при линейном изменении: pср = (p₁ + p₂)/2 = 3·10⁵ Па.
4. Работа равна площади трапеции: A = pсрΔV = 3·10⁵ · 4·10⁻³ = 1200 Дж.

Ответ: A = 1200 Дж. Работа положительна, поскольку процесс является расширением.

Типичные ошибки

Ошибка: использовать A = pΔV при переменном давлении без нахождения площади под графиком. Так делают, перенося формулу постоянного давления на любой процесс. Проверьте, меняется ли давление: если да, используйте график или среднее давление только в обоснованном случае.

Ошибка: считать работу газа положительной при сжатии. Причина — внимание обращают только на величину объёма, но забывают, что ΔV = V₂ − V₁ отрицательно. Перед вычислением сравните начальный и конечный объёмы.

Ошибка: не переводить литры в кубические метры. Число получается похожим на правильное, но единица работы нарушается, поскольку 1 л = 10⁻³ м³. В конце проверьте размерность: Па·м³ = Дж.

Ошибка: путать работу газа с работой внешних сил. Приписывание им одного знака нарушает закон сохранения энергии для квазистатического процесса. Используйте соотношение Aвнеш = −Aгаза.

Связь с другими темами

Для изучения работы газа нужны понятия механической работы силы, давления и объёма, а также умение переводить единицы в СИ. Механическая работа связывает движение поршня с передачей энергии. Давление позволяет выразить силу, действующую на поршень.

Работа газа входит в первый закон термодинамики: полученная газом теплота расходуется на изменение внутренней энергии и совершение работы. Поэтому знак работы помогает правильно составлять уравнение теплового баланса. Без него нельзя определить направление передачи энергии.

При анализе тепловых двигателей и холодильных машин рассматривают процессы расширения и сжатия газа. В циклических процессах работа связана с площадью внутри замкнутого контура на p–V диаграмме. Это позволяет сравнивать эффективность различных устройств.

Что запомнить

• Работа газа возникает при изменении его объёма.
• При расширении работа газа положительна, при сжатии — отрицательна.
• При постоянном давлении A = p(V₂ − V₁).
• При постоянном объёме работа газа равна нулю.
• При переменном давлении работа равна площади под графиком процесса на p–V диаграмме.
• Работа внешних сил при квазистатическом процессе противоположна по знаку работе газа.