"Математика (для обучающихся с интеллектуальными нарушениями) *", Перова М.Н., Капустина Г.М.
Масштаб помогает показать большой объект на маленьком листе и сохранить соотношение его частей. Он встречается на планах помещений, картах и чертежах. Запись 1 : 100 означает, что одной единице длины на изображении соответствуют 100 таких же единиц в действительности. По масштабу можно вычислить настоящее расстояние или длину отрезка на плане. Перед вычислением нужно выразить все длины в одинаковых единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Масштаб — отношение длины на плане или карте к соответствующей длине на местности. Перед сравнением обе длины выражают в одинаковых единицах: например, обе в сантиметрах. Масштаб нужен, чтобы связать размер изображения с настоящим расстоянием и выполнять вычисления по плану.
Численный масштаб — запись вида 1 : 100. Она показывает, во сколько раз расстояния на плане уменьшены по сравнению с действительными. Первое число относится к изображению, второе — к реальному объекту, поэтому запись помогает понять, какое расстояние скрывается за каждым сантиметром плана.
Расстояние на плане — длина отрезка, изображающего объект на плане или карте. Например, можно измерить линейкой отрезок между двумя точками на карте. Эта длина нужна, когда мы хотим по масштабу узнать, как далеко точки находятся друг от друга в действительности.
Действительное расстояние — расстояние между объектами в реальности, которому соответствует отрезок на плане или карте. Его можно найти по измеренной длине изображения и масштабу. Такое расстояние помогает понять настоящие размеры предметов или расстояния между местами.
Большой объект или расстояние трудно уместить на обычном листе в настоящем размере. Поэтому план или карту делают меньше, но стараются сохранить соотношение расстояний: если один путь в действительности вдвое длиннее другого, на карте он тоже будет вдвое длиннее. Масштаб указывает, насколько именно уменьшено изображение. Благодаря этому план остаётся полезным, хотя его размеры намного меньше реальных.
Запись 1 : 100 можно прочитать так: одному сантиметру на плане соответствуют 100 сантиметров в действительности. Числа относятся к одинаковым единицам, ведь масштаб сравнивает длины, а не названия единиц. Значит, если на плане отрезок равен 2 см, то в действительности ему соответствуют 200 см. Чтобы представить результат удобнее, сантиметры можно перевести в метры.
Единицы измерения перед вычислением приводят к одинаковым, потому что сравнивать можно только однородные величины. Если длину на плане измерили в сантиметрах, а настоящее расстояние записано в метрах, нельзя просто подставить числа в действие. Сначала переведи метры в сантиметры или сантиметры в метры. Так ты не перепутаешь число с единицей и получишь верный результат.
Чтобы найти действительное расстояние, умножь длину отрезка на плане на число после двоеточия. При масштабе 1 : 100 каждый сантиметр изображения означает 100 сантиметров на местности, поэтому и длину в сантиметрах умножают на 100. Получив ответ, переведи его в удобные единицы, если это требуется. Например, большое число сантиметров обычно удобнее записать в метрах или километрах.
Чтобы найти расстояние на плане, действуй наоборот: сначала вырази действительное расстояние в тех же единицах, что и масштаб, затем раздели его на число после двоеточия. Деление нужно потому, что изображение уменьшено: на плане отрезок короче соответствующего ему расстояния в действительности. Например, при масштабе 1 : 200 расстояние 1200 см в реальности изображается отрезком 6 см. Проверь, что в ответе указана длина именно на плане.
| Что нужно найти | Действие | Что проверить |
|---|---|---|
| Действительное расстояние | Умножить расстояние на плане на число масштаба | Совпадают ли единицы; нужно ли перевести ответ в метры или километры |
| Расстояние на плане | Перевести действительное расстояние в нужные единицы и разделить на число масштаба | Получилась ли длина изображения, а не реального расстояния |
| Единицы измерения до вычисления | Выразить сравниваемые длины в одинаковых единицах | Не смешаны ли сантиметры, метры и километры |
| Единицы измерения в ответе | Записать единицу, подходящую к найденной длине | Соответствует ли единица вопросу задачи |
Сначала определи, какое расстояние требуется найти, а затем выбери нужную строку таблицы. Проверь единицы до вычисления и после него: в ходе решения они могут измениться. Если ответ кажется слишком большим или маленьким, ещё раз проверь действие и перевод единиц.
Задача 1. Масштаб плана 1 : 10. Чему соответствует на местности отрезок длиной 2 см? Нужно найти действительное расстояние, значит, изображение надо увеличить в 10 раз. Единицы уже одинаковые: длина на плане дана в сантиметрах, поэтому результат сначала тоже будет в сантиметрах.
Ответ: отрезку длиной 2 см на плане соответствует 20 см на местности. Проверка: действительное расстояние больше длины на плане, потому что план уменьшен. Число 20 действительно в 10 раз больше числа 2.
Задача 2. Масштаб карты 1 : 100 000. Расстояние между городами на карте — 3 см. Каково расстояние в действительности? Требуется найти реальное расстояние, поэтому длину на карте умножаем на 100 000. Сначала получим сантиметры, а затем переведём их в километры, чтобы ответ был удобнее читать.
Ответ: расстояние между городами в действительности равно 3 км. При проверке удобно помнить: 1 см при таком масштабе означает 1 км, поэтому 3 см должны соответствовать 3 км. Это совпадает с результатом вычислений.
Задача 3. Действительное расстояние между объектами — 12 м. Какой длины будет отрезок на плане масштаба 1 : 200? Нужно найти длину изображения, поэтому после приведения единиц к сантиметрам будем делить на 200. Переводим метры в сантиметры, так как длину отрезка на плане обычно удобно записать в сантиметрах.
Ответ: на плане длина отрезка будет равна 6 см. Проверка: 6 × 200 = 1200 см, то есть 12 м. Значит, найденная длина действительно соответствует указанному расстоянию и масштабу.
Иногда число масштаба используют наугад: где-то умножают, где-то делят, не выяснив, что нужно найти. Так происходит, когда внимание обращают только на числа, а не на вопрос задачи. Сначала назови искомое: для действительного расстояния умножай длину на плане, а для длины на плане дели действительное расстояние. Проверь себя по смыслу: настоящее расстояние должно быть больше изображения.
Другая ошибка — подставить в вычисление сантиметры и метры одновременно. Например, можно разделить число сантиметров на число масштаба, записанное для сантиметров, и забыть, что исходное расстояние дано в метрах. Перед действием выпиши обе длины в одинаковых единицах. Если единицы не совпадают, сначала выполни перевод, а затем ещё раз проверь записи.
Масштаб 1 : 100 иногда принимают за увеличение в 100 раз. Это неверно: план уменьшен, и одной единице на нём соответствуют 100 таких же единиц в действительности. Ошибку легко заметить, спросив себя, где длина должна быть больше — на бумаге или на местности. Настоящий объект обычно больше своего изображения, поэтому при поиске действительного расстояния выполняют умножение.
После вычисления можно забыть перевести ответ из сантиметров в метры или километры. Такое случается, если записать только полученное число и не посмотреть на вопрос задачи. В ответе указывай не только число, но и подходящую единицу. Проверь, что для небольшого отрезка на плане не получился неудобный ответ в огромном количестве сантиметров, если его можно записать в метрах или километрах.
Для работы с масштабом нужно уметь измерять отрезки линейкой и переводить метры, сантиметры и километры друг в друга. Если эти навыки уже освоены, будет легче выбрать действие и записать ответ в подходящих единицах. Масштаб связывает измерение длины с умножением и делением, поэтому помогает применять знакомые вычисления в практических задачах.
Масштаб пригодится при чтении планов помещений, карт и схем, а также при выполнении чертежей. По нему можно оценить расстояние между местами или определить, сколько места займёт предмет на плане. Он также помогает изображать реальные объекты уменьшенными, сохраняя соотношение их размеров.
Что показывает масштаб 1 : 100?
Он показывает, что одной единице длины на плане соответствуют 100 таких же единиц в действительности. Например, 1 см на плане соответствует 100 см, то есть 1 м, на местности.
Почему перед вычислением нужно переводить расстояния в одинаковые единицы?
Масштаб сравнивает длины, выраженные в одной и той же единице. Если одно расстояние дано в метрах, а другое в сантиметрах, сначала переведи их в одинаковые единицы.
Как найти действительное расстояние по длине на плане?
Умножь длину отрезка на плане на число после двоеточия. Результат сначала получишь в тех же единицах, что и длина на плане, а затем при необходимости переведи в метры или километры.
Как определить длину отрезка на плане по действительному расстоянию?
Вырази действительное расстояние в тех же единицах, которые используешь для масштаба. Затем раздели его на число после двоеточия.
Как перевести расстояние из сантиметров в метры или километры?
В 1 метре 100 сантиметров, поэтому сантиметры нужно разделить на 100. В 1 километре 1000 метров, поэтому метры нужно разделить на 1000.
Масштаб
