Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Точка — геометрическая фигура, которую обозначают заглавной латинской буквой, например A. У точки нет измеряемых длины и ширины: на бумаге её часто показывают маленьким следом карандаша, но этот след нужен лишь для того, чтобы указать место. Точки помогают задавать положения других фигур и отмечать их границы.

Прямая — линия, не имеющая ни начала, ни конца. Её обозначают по двум точкам, лежащим на ней: прямая AB проходит через A и B. На листе она изображена не целиком, потому что бесконечную линию нельзя уместить на бумаге; обозначение помогает понять, о какой прямой идёт речь.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, а сам отрезок обозначают буквами концов, например AB. В отличие от прямой, отрезок имеет конечную длину, которую можно измерить линейкой.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называется вершиной угла, а лучи — его сторонами. Например, у угла AOB вершина O, а стороны — лучи OA и OB; такое обозначение позволяет точно назвать фигуру.

Как это устроено

Геометрические фигуры задают на чертеже условными знаками: точки отмечают, прямые и отрезки проводят, а затем подписывают буквами. Это нужно потому, что одного изображения может быть недостаточно, чтобы однозначно описать фигуру словами. Обозначения связывают чертёж с рассуждением: если сказано «прямая AB», понятно, какие две точки задают эту линию. Поэтому буквы помогают не только читать рисунок, но и объяснять построение другому человеку.

Через любые две различные точки можно провести единственную прямую. Если попробовать провести через них другую прямую, она не сможет пройти через обе те же точки, не совпав с первой. Это свойство позволяет строить прямую по двум отметкам и служит основой для многих чертежей. Например, чтобы соединить заданные точки A и B прямой, достаточно приложить линейку к обеим и провести линию.

Если на прямой выделить точку, она разделит линию на две части, каждая из которых продолжается в одну сторону от этой точки. Так получают луч: у него есть начало, но нет конца в направлении продолжения. Если же выбрать две точки, часть прямой между ними будет отрезком, ограниченным этими концами. Значит, прямую, луч и отрезок различают прежде всего по тому, какие границы у них есть.

Два луча с общим началом образуют угол, потому что расходятся из одной точки и задают две его стороны. Общую точку называют вершиной, и в обозначении тремя буквами её ставят посередине: например, ∠AOB. Если поставить букву вершины первой или последней, можно ошибиться при чтении названия и принять за вершину другую точку. Поэтому среднее положение буквы O помогает однозначно указать, где сходятся стороны угла.

Чертёж показывает, какие фигуры соединены, где они пересекаются и как расположены относительно друг друга. Но длины линий и величины углов на рисунке могут быть переданы неточно: схематичное изображение не всегда выполняют в масштабе. Поэтому нельзя делать вывод о равенстве отрезков только потому, что они выглядят одинаково, если это не задано условием. Свойства проверяют по обозначениям, измерениям или данным задачи, а рисунок используют как наглядную опору.

Основные геометрические фигуры и их признаки

Сначала найди в чертеже особые точки: начало, концы или вершину. Затем сравни фигуру с описанием в таблице и проверь, как её обозначают. Такой порядок помогает не путать фигуры, которые на рисунке могут выглядеть похоже.

Разбор задач

Задача 1. На чертеже отмечены точки A и B. Назовите прямую и отрезок, связанные с этими точками. Нужно различить линию, проходящую через обе точки и продолжающуюся в обе стороны, и её ограниченную часть. Одинаковые буквы в обозначениях укажут, какие именно точки используются.

1. Две точки A и B задают единственную прямую, проходящую через них.
2. Прямую обозначаем по этим точкам: прямая AB; мысленно она продолжается за обе точки в обе стороны.
3. Часть прямой между A и B — отрезок AB, у которого A и B являются концами.

Ответ: прямая AB и отрезок AB. Хотя в обозначениях используются одни и те же буквы, это разные фигуры. У прямой нет концов, а у отрезка концами служат A и B.

Задача 2. Из точки O проведены лучи OA и OB. Назовите образованный угол и укажите его вершину. При записи нужно показать, что лучи имеют общее начало, и поставить его букву между двумя другими. Это позволит не спутать вершину со сторонами угла.

1. Определяем общую точку лучей OA и OB: это точка O.
2. Обозначаем угол тремя буквами, помещая O на второе место: ∠AOB.
3. Проверяем, что крайние буквы A и B соответствуют точкам на сторонах, а средняя буква обозначает вершину.

Ответ: угол AOB, его вершина — O. Можно также назвать его углом BOA: вершина и стороны при этом те же. В обоих обозначениях буква вершины остаётся средней.

Задача 3. На прямой отмечены точки A, B и C, причём B лежит между A и C. Перечислите получившиеся отрезки и лучи с началом в B. Условие о порядке точек помогает понять, какие пары задают части прямой и в какие стороны направлены лучи. Сначала рассматриваем отрезки, затем лучи, у которых начало строго указано.

1. Из трёх отмеченных точек можно составить пары концов: получаем отрезки AB, BC и AC.
2. Луч с началом B в сторону A обозначаем BA, а луч с началом B в сторону C — BC.
3. Проверяем направления: A и C находятся по разные стороны от B, поэтому эти два луча направлены в противоположные стороны.

Ответ: отрезки AB, BC и AC; лучи BA и BC. В обозначениях лучей первая буква B показывает начало. Отрезок AC включает точку B, но его концы — A и C.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что прямая ограничена краями рисунка. На чертеже её изображают лишь частью, поскольку вся прямая бесконечна, а линии на бумаге конечны. Такую ошибку допускают, принимая изображение за саму фигуру целиком. Проверь себя: у прямой нет обозначенных концов, и её мысленно продолжают за края чертежа в обе стороны.

Ошибка — называть отрезком часть линии, не указывая его концы. Отрезок определяется двумя граничными точками, поэтому без них непонятно, где именно он начинается и заканчивается. Это путают, когда ориентируются только на нарисованную линию. Проверь себя: назови обе точки, ограничивающие отрезок, и обозначь его буквами этих концов.

Ошибка — путать луч и прямую. На рисунке их части могут выглядеть одинаково, но у луча есть начало, а у прямой нет ни начала, ни конца. Путаница возникает, если не учитывать направление продолжения. Проверь себя: найди у луча отмеченную начальную точку, а прямую представь продолжающейся в обе стороны.

Ошибка — обозначать угол тремя буквами так, что вершина стоит не на втором месте. Тогда средняя буква указывает не на общую точку сторон, и название может быть прочитано неверно. Ошибку допускают, когда записывают точки в произвольном порядке. Проверь себя: сначала найди общую точку лучей, а затем помести её букву между буквами точек на сторонах.

Связь с другими темами

Для работы с фигурами нужно уметь обозначать точки заглавными латинскими буквами и пользоваться линейкой, чтобы проводить прямые и отрезки. Эти навыки помогают правильно читать и выполнять чертежи. Понятия прямой, луча и отрезка понадобятся при изучении взаимного расположения прямых, измерения длин и построения фигур. Понятие угла станет основой для знакомства с видами углов, их измерением и свойствами треугольников.

Что запомнить

• Точку обозначают заглавной латинской буквой.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Прямая не имеет концов.
• Луч имеет начало и продолжается в одну сторону.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Угол образован двумя лучами с общим началом.
• В обозначении угла вершину указывают средней буквой.